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Cours de mécanique et électromagnétisme

jeudi 21 mai 2015, par Cayrel


Ce cours a été concu à partir de :
  • http://cbissprof.free.fr (essentiellement)
  • cours de Yann Charlemagne IUT Saint-Etienne
  • Physique Terminale S, collection Durandeau
Ce document est en constante évolution merci de poster vos remarques/commentaires/coquilles en bas de cette page.

Table des matières

1  Lois générales de l'électricité en courant continu
    1.1  Le courant électrique
        1.1.1  Objectifs
        1.1.2  Définitions
        1.1.3  Loi des noeuds
    1.2  La tension électrique
        1.2.1  Définitions
        1.2.2  Lois relatives à la tension
        1.2.3  Mesure de tension avec d'autres appareils
    1.3  Dipôles passifs linéaires, loi d'Ohm
        1.3.1  Objectifs
        1.3.2  Convention récepteur
        1.3.3  Caractéristique courant-tension
        1.3.4  Loi d'Ohm
    1.4  Associations de dipôles passifs linéaires
        1.4.1  Objectifs
        1.4.2  Associations série et parallèle
        1.4.3  Diviseur de tension, diviseur de courant
    1.5  Compléments sur les dipôles passifs
        1.5.1  Objectifs
        1.5.2  Conductivité et résistivité
        1.5.3  Résistance dépendante d'un paramètre physique
        1.5.4  Dipôles passifs non linéaires
    1.6  Dipôles actifs - Généralités
        1.6.1  Objectifs
        1.6.2  Définition et convention
        1.6.3  Exemples de dipôles actifs
    1.7  Dipôles actifs linéaires
        1.7.1  Objectifs
        1.7.2  Approximation linéaire
        1.7.3  Modèles électriques équivalents
        1.7.4  équivalence entre les deux modèles
        1.7.5  Sources linéaires parfaites
    1.8  Association de dipôles actifs linéaires
        1.8.1  Objectifs
        1.8.2  Association série
        1.8.3  Association parallèle
        1.8.4  Association dipôle actif - dipôle passif
    1.9  Théorème de superposition
        1.9.1  Objectifs
        1.9.2  étude d'un exemple
        1.9.3  Théorème de superposition
        1.9.4  Méthode d'extinction des sources
        1.9.5  Application à la détermination des M.E.T. et M.E.N.
    1.10  Puissance et énergie électriques
        1.10.1  Objectifs
        1.10.2  La puissance électrique
        1.10.3  L'énergie électrique
        1.10.4  Conservation de l'énergie
        1.10.5  Rendement
    1.11  Les condensateurs
        1.11.1  Objectifs
        1.11.2  Constitution d'un condensateur
        1.11.3  Propriétés d'un condensateur
        1.11.4  Associations de condensateurs
        1.11.5  Champ électrique et forces électrostatiques
        1.11.6  Utilisation des condensateurs
2  Électromagnétisme
    2.1  Champ magnétique - spectre
        2.1.1  Objectifs
        2.1.2  Sources de champ magnétique
        2.1.3  Le vecteur champ magnétique
        2.1.4  Spectre du champ magnétique
        2.1.5  Règle de la main droite
    2.2  Action du champ magnétique sur un faisceau d'électrons
        2.2.1  Objectifs
        2.2.2  Étude expérimentale
        2.2.3  Interprétation
        2.2.4  Représentation des vecteurs dans le plan
    2.3  Les courants sources de champ magnétique
        2.3.1  Objectifs
        2.3.2  Étude expérimentale
        2.3.3  Interprétation
        2.3.4  Autres circuits élémentaires
    2.4  Action d'un champ magnétique
        2.4.1  Objectifs
        2.4.2  Étude expérimentale
        2.4.3  Interprétation - Loi de Laplace
        2.4.4  Action du champ magnétique sur une spire
        2.4.5  Applications de l'action électromagnétique
    2.5  Induction électromagnétique
        2.5.1  Objectifs
        2.5.2  Étude expérimentale
        2.5.3  Interprétation : Loi de l'induction
        2.5.4  Courants induits et loi de Lenz
    2.6  Auto-induction
        2.6.1  Objectifs
        2.6.2  Éude expérimentale
        2.6.3  Relation courant-tension pour une bobine idéale
        2.6.4  Relation courant-tension pour une bobine réelle
        2.6.5  énergie emmagasinée dans une bobine
        2.6.6  Exemples d'utilisation des bobines
3  Régimes variables
    3.1  Les grandeurs périodiques : généralités
        3.1.1  Objectifs
        3.1.2  Les grandeurs variables
        3.1.3  Les grandeurs périodiques
        3.1.4  Mesure des valeurs moyenne et efficace
        3.1.5  Composante continue et composante variable
    3.2  Régime sinusoïdal - Généralités
        3.2.1  Objectifs
        3.2.2  Pourquoi étudier le régime sinusoïdal ?
        3.2.3  Grandeurs relatives au régime sinusoïdal
        3.2.4  Représentation d'une grandeur sinusoïdale
        3.2.5  Déphasage du courant par rapport à la tension
    3.3  Régime sinusoïdal - dipôles élémentaires
        3.3.1  Objectifs
        3.3.2  Généralités
        3.3.3  Résistance linéaire
        3.3.4  Bobine parfaite
        3.3.5  Condensateur parfait
        3.3.6  Tableau récapitulatif
    3.4  Régime sinusoïdal association de dipôles
        3.4.1  Objectifs
        3.4.2  Généralités
        3.4.3  Circuit "RL série"
        3.4.4  Circuit "RC série"
        3.4.5  Circuit "RLC série"
        3.4.6  Circuit "RL parallèle"
        3.4.7  Circuit "RC parallèle"
        3.4.8  Circuit "RLC parallèle"
    3.5  Puissances en régime sinusoïdal
        3.5.1  Objectifs
        3.5.2  Puissance instantanée
        3.5.3  Puissance active
        3.5.4  Puissance apparente
    3.6  Systèmes triphasés équilibrés
        3.6.1  Objectifs
        3.6.2  Généralités
        3.6.3  Expressions des tensions
        3.6.4  Puissances en triphasé
        3.6.5  Branchements d'un récepteur

Chapitre 1
Lois générales de l'électricité en courant continu

1.1  Le courant électrique

1.1.1  Objectifs

  • Connaître la nature microscopique du courant électrique.
  • Savoir le représenter et le mesurer.
  • Utiliser avec rigueur la loi des noeuds.

1.1.2  Définitions

Nature microscopique du courant éléctrique

Le courant électrique est un mouvement d'ensemble de porteurs de charges électriques. Il existe deux types de porteurs de charges électriques : - les électrons (charge négative) dans les métaux. - les ions (charge positive ou négative) dans les électrolytes. La charge élémentaire exprimée en Coulomb est : e = 1,6.10−19 C. Un électron transporte la charge : − e donc −1,6.10−19 C.

Circuit électrique

Un courant électrique ne peut s'établir que dans un circuit électrique fermé. Celui-ci doit contenir au moins un générateur électrique et un récepteur. Des conducteurs (fils) relient les différents éléments du circuit. L'interrupteur permet d'autoriser ou non le passage du courant électrique.

Intensité du courant électrique

Pendant la durée t, N charges transportent la quantité d'électricité : Q = N.e. L'intensité du courant électrique est définie par la relation :
I= Q

t
I en Ampères (A), Q en Coulombs (C) et t en secondes (s).
Ordre de grandeurs :
  • Electronique (circuits intégrés, transistors ...) : nA (10−9A), mA (10−6A), mA (10−3A).
  • Electronique de puissance (alimentations, amplificateurs ...) : 1 A à 1 kA (103A).
  • Electrotechnique (moteurs, centrales ...) : 10 A à 104 A.

1.1.3  Loi des noeuds

Sens conventionnel du courant électrique et mesure

Par convention, le courant électrique est orienté dans le sens du mouvement des porteurs de charges positives (sens inverse du déplacement des électrons). Le courant sort de la borne positive et entre par la borne négative d'un générateur. La mesure du courant électrique se fait avec un ampèremètre que l'on branche en série dans le circuit conformément au schéma ci-dessous :
Lors de l'étude d'un circuit, souvent on ne connaît pas le sens réel du courant. Dans ce cas, on choisit arbitrairement un sens (dessin d'une flèche) et on mesure :
  • Si I > 0, alors le courant circule dans le sens de la flèche.
  • Si I < 0, alors le courant circule dans le sens opposé à la flèche.

Loi des noeuds

Un noeud est une connexion qui relie au moins trois fils. Il ne peut y avoir d'accumulation de charges électriques dans un noeud, il en résulte la loi ci-dessous.
Loi des noeuds :   La somme des intensités des courants qui arrivent au noeud est égale à la somme des intensités des courants qui sortent du noeud. Dans l'exemple ci-dessous, la loi des noeuds donne la relation :
I1 + I2 = I3 + I4
Remarque :   Un composant électronique ou même une portion de circuit se comporte comme un noeud (pas d'accumulation de charges). Pour le transistor bipolaire, par exemple, on a la relation : IE = IB + IC.

1.2  La tension électrique

Objectifs

  • Appréhender les notions de potentiel et de tension électrique.
  • Savoir les représenter et les mesurer.
  • Utiliser avec rigueur la loi des mailles.

Introduction

Introduction au potentiel électrique. Analogie hydraulique  
Considérons le circuit électrique ci-dessous et essayons de trouver des similitudes avec un circuit hydraulique.
Le débit du fluide hydraulique peut correspondre au courant électrique. La pression en un point du circuit hydraulique pourra correspondre à ce qu'on appelle le potentiel électrique.

1.2.1  Définitions

Le potentiel électrique

Définition :   Le potentiel électrique (unité = Volt (V)) est une grandeur présente en tout point d'un circuit, on peut l'assimiler à une " pression électrique ". On le mesure avec un voltmètre dont la borne "com" ou "-" est relié au potentiel zéro (point du circuit relié à la terre) ; l'autre borne "+" est reliée au point du circuit dont veut mesurer le potentiel.

La tension électrique

Définition :   La tension électrique (unité = Volt (V)) aux bornes d'un circuit est la différence de potentiel entre ces deux bornes. On notera par exemple UAB la tension égale à VA − VB. Cette tension sera symbolisée par une flèche (pointe en A et origine en B).
La borne "+" du voltmètre est reliée au point A et la borne "com" ou "-" est relié au point B.
Remarques :   Le sens de la flèche est choisi arbitrairement ou imposée sur le schéma. Une tension a une valeur algébrique (elle a un signe). Un fil de liaison a tous ces points au même potentiel (tension = 0V).
Mesure :   La tension électrique entre deux points d'un circuit se mesure à l'aide d'un voltmètre que l'on branche sur ces deux points :
Par exemple, pour mesurer la tension UAB : La borne "+" du voltmètre est relié au point A. La borne "COM" est reliée au point B. Le voltmètre numérique indiquera une tension positive si le potentiel VA et supérieur au potentiel VB ce qui correspond à UAB > 0. Le voltmètre numérique indiquera une tension négative dans le cas contraire (UAB < 0). Le sens de branchement du voltmètre doit être en accord avec la convention c'est-à-dire avec le sens de la flèche.
Ordre de grandeur :  
  • Electronique (circuits intégrés, transistors ...) : mV (10−6 V), mV (10−3 V) et V.
  • Electronique de puissance (alimentations, amplificateurs ...) : 1V à 1 kV (103 V).
  • Electrotechnique (moteurs, centrales ...) : 100 V à 400 kV.

1.2.2  Lois relatives à la tension

Loi d'additivité

Sur une branche (portion) d'un circuit, on trouve la relation :
UAC = UAB + UBC

Loi des mailles

Une maille est constituée de plusieurs branches qui forment un circuit fermé. On choisit un sens arbitraire de parcours :
On peut énoncer la loi ainsi : la somme des tensions qui indiquent un sens est égale à la somme des tensions qui indiquent l'autre sens. Pour notre exemple, on a la relation :
UAD + UCB + UDC = UAB.

1.2.3  Mesure de tension avec d'autres appareils

Voltmètre analogique

Avant l'apparition du matériel numérique, les voltmètres étaient analogiques. L'angle de déplacement d'une aiguille sur un arc de cercle gradué est proportionnel à la tension mesurée. Le calibre sélectionné correspond au maximum de déviation de l'aiguille. Pour mesurer des tensions négatives, il faut inverser le sens de branchement.

Voltmètre numérique

Le voltmètre numérique affiche directement la mesure de tension à l'aide de "digits". Par exemple, un voltmètre "3 digits [1/2]" aura une plage d'affichage de -1999 à +1999 (le digit de gauche n'a que deux valeurs possibles : 0 ou 1). Ces appareils présentent les avantages suivants :
  • calibrage automatique pour les plus récents;
  • indication de la polarité (>0 ou <0);
  • ils prélèvent très peu de courant au circuit.
Mais attention, ces appareils ont souvent un nombre de digits trop grand par rapport à la précision; par exemple il indique +1,367 V alors qu'il n'a une précision que de 10mV. De plus les appareils numériques sont faits de composants semi-conducteurs dont les performances se dégradent dans le temps.

Oscilloscope

Lorsque la tension varie rapidement dans le temps, on peut utiliser un oscilloscope qui rend ces variations visibles sur un écran.

Carte d'acquisition et matériel informatique

La carte d'acquisition permettra de convertir chaque point de mesure en un nombre qui sera transmis à un ordinateur pour enregistrer et afficher ces points à l'écran sous forme de tableaux et de courbes.

1.3  Dipôles passifs linéaires, loi d'Ohm

1.3.1  Objectifs

  • Connaître la caractéristique I = f (U) pour un dipôle passif linéaire ("résistance").
  • Savoir utiliser la loi d'Ohm avec la bonne convention.

1.3.2  Convention récepteur

Circuit électrique avec générateur et récepteur

Considérons le circuit électrique ci-dessous et essayons de trouver une orientation judicieuse des flèches courant et tension. De l'observation du circuit ci-dessus, on peut en déduire deux conventions pour représenter le courant et la tension pour un dipôle.

Convention générateur et convention récepteur

Pour un dipôle récepteur, il sera judicieux d'adopter la convention récepteur (flèches de U et I indiquant un sens contraire).

1.3.3  Caractéristique courant-tension

Tracé de la caractéristique

Adoptons la convention récepteur pour un conducteur ohmique aussi appelé "résistor linéaire" mais aussi " résistance " par les électroniciens. Branchons cette "résistance" marquée "470 Ω" aux bornes d'une source de tension continue réglable. Faisons varier la tension et relevons à chaque fois l'intensité du courant; nous obtenons une série de points de mesures qui donnent le tableau et le graphe suivant :

Relation entre I et U

La caractéristique semble est une droite qui passe par l'origine, le courant est donc proportionnel à la tension et inversement (I = k.U mais aussi U = (1/k).I). On dira que le conducteur ohmique est un dipôle passif linéaire (linéaire car " droite " et passif car " passe par l'origine "). Evaluons le quotient [U/I] en utilisant plusieurs couples de points de mesures :
−10

−21,2.10−3
≈ 470; −6

−12,77.10−3
≈ 470; 2

4,26.10−3
≈ 470; 8

17,02.10−3
≈ 470
Les calculs ci-dessus confirment que le rapport [U/I] est constant et sa valeur "470" est celle inscrite sur la résistance.

1.3.4  Loi d'Ohm

Enoncé de la loi (convention récepteur)

La loi d'Ohm pour un conducteur ohmique de résistance R ou résistor linéaire, avec la convention récepteur est :

Loi d'Ohm en convention générateur

En convention générateur on aura U = −R I ou I = −G U.

1.4  Associations de dipôles passifs linéaires

1.4.1  Objectifs

  • Connaître les lois d'associations de dipôles (série et parallèle).
  • Savoir reconnaître et utiliser le diviseur de tension et le diviseur de courant.

1.4.2  Associations série et parallèle

Association série

Définition :   Des dipôles sont en série lorsqu'ils sont traversés par le même courant.
Exemple :   Associons trois résistances en série et cherchons la résistance équivalente.

U = U1 + U2 + U3 (loi des mailles)

RSI = R1I + R2I + R3I = (R1+R2+R3) I
Donc
RS = R1 + R2 + R3.
Loi :   Dans une association de résistors en série, la résistance équivalente est égale à la somme des résistances. Si N est le nombre des résistors, on a :
RS = R1 + R2 + R3 + …+ RN.
Remarque : Pour N résistors identiques R : RS = N R.

Association parallèle

Définition :   Des dipôles sont en parallèle lorsqu'ils sont soumis à la même tension.
Exemple :   Associons trois résistances en parallèle et cherchons la résistance équivalente.

I = I1 + I2 + I3 (loi des noeuds) U

Rp
= U

R1
+ U

R2
+ U

R3
Donc
1

Rp
= 1

R1
+ 1

R2
+ 1

R3
mais on a aussi : GP = G1 + G2 + G3 (avec G=[1/R]).
Loi :   Dans une association de résistors en parallèle, la conductance équivalente est égale à la somme des conductances. Si N est le nombre des résistors, on a :
GS = G1 + G2 + G3 + …+ GN.
Remarque 1 :   Lors d'une association en parallèle, la résistance RP est plus petite que la plus petite des résistances.
Remarque 1 :   Pour N résistors identiques en parallèle on a GP = N G ou Rp=[R/N].
Remarque 3 :   Pour deux résistors R1 et R2 en parallèle, on a :
Rp= R1R2

R1+R2
= produit

somme
!!! Attention : La formule précédente (produit / somme) est valable uniquement pour deux résistances.

1.4.3  Diviseur de tension, diviseur de courant

Diviseur de tension - Généralités

Définition :   on est en présence d'un diviseur de tension chaque fois que des résistors sont branchés en série c'est-à-dire traversés par le même courant.
Montage :  
Cherchons une relation donnant U2 en fonction de U1 ; R1 et R2 : U2 = R2I avec I=[U/(R1+R2)] donc U2=R2[U/(R1+R2)].
Relation :  
U2=U R2

R1+R2
.
Généralisation :   Considérons le schéma ci-dessous (N résistors en série)
On démontre de la même façon (qu'avec deux résistors) que :
UX=U RX

Rtotale
.
Application :   On désire, par exemple, mesurer une tension de l'ordre de 100 V avec un multimètre qui ne peut mesurer qu'un maximum de 10 V. On insère donc un pont diviseur de tension entre le point à mesurer et le multimètre. On prendra R1 = 9R2, ce qui donne
U2=U R2

R1+R2
= U

10
.
Le multimètre mesure U2 et il faut multiplier U2 par 10 pour avoir la vraie valeur de U.

Le potentiomètre

Le potentiomètre est un composant très utilisé en électronique. On le trouve par exemple sur la face avant de divers appareils; on l'utilise en agissant sur son curseur rotatif ou linéaire pour ajuster un volume sonore, une intensité lumineuse etc.... Son schéma physique et son schéma électrique sont représentés ci-dessous :
Le point C représente le curseur qui peut "glisser" de A vers B sur une piste résistive. La relation fondamentale est R = R1 + R2 quelle que soit la position du curseur. Le potentiomètre est donc un pont diviseur de tension à point milieu réglable. La relation U2=U[(R2)/(R1+R2)] s'écrira :
U2=U R2

R
car R = R1 + R2.

Diviseur de courant

Définition :   on est en présence d'un diviseur de courant chaque fois que des résistors sont branchés en parallèle c'est-à-dire soumis à la même tension.
Cherchons une relation donnant I2 en fonction de I, R1 et R2 :
I2= U

R2
avec U= R1R2

R1+R2
I donc I2= 1

R2
R1R2

R1+R2
I= R1

R1+R2
I
Relation :  
I2=I R1

R1+R2
.
En électronique, le diviseur de courant est moins souvent utilisé que le diviseur de tension.

1.5  Compléments sur les dipôles passifs

1.5.1  Objectifs

  • Comprendre les notions de conductivité et résistivité.
  • Connaître l'allure de la caractéristique I = f (U) pour des dipôles passifs non linéaires fréquemment rencontrés en électronique.

1.5.2  Conductivité et résistivité

Définitions

La résistance R d'un matériau dépend de deux caractéristiques :
  • caractéristique géométrique (longueur L et section S)
  • caractéristique électrique (résistivité ρ).
La relation est :
R=ρ L

S
avec R en Ω ; L en m ; S en m2 et ρ en Ω.m
De même la conductance G d'un matériau dépend de deux caractéristiques :
  • caractéristique géométrique (longueur L et section S)
  • caractéristique électrique (conductivité γ).
La relation est :
G=γ S

L
avec G en S ; L en m ; S en m2 et ρ en S.m−1
Remarque :   De même que l'on a G=[1/R], on a
γ = 1

ρ
.

Valeurs usuelles de résistivité

Quelques valeurs de résistivité pour différents métaux sont données ci-dessous :
ConducteurArgentCuivreAluminiumCharbon
Résistivité ρ à 0°C (Ω.m)1,64.10−81,72.10−82,69.10−840.10−8
Exemple :   Calculons la résistance d'un fil de cuivre de diamètre D = 0,1 mm et de longueur L = 10 m :
R=ρ 1

S
1

π( D

2
)2
=1,72.10−8 10

π( 0,1.10−3

2
)2
soit R ≈ 21,9Ω.

1.5.3  Résistance dépendante d'un paramètre physique

Définition

Il s'agit de dipôles passifs linéaires dont la résistance varie en fonction d'un paramètre physique (température, éclairement, champ magnétique ...). La caractéristique U = f (I) est une droite, mais la pente de cette droite dépend d'un paramètre physique.

Exemples

  • La thermistance CTN
    Exemple :   pour T1, R1 = 20 Ω et pour T2 > T1, R2 = 10 Ω ⇒ Quand la température augmente, la résistance diminue.
  • La photorésistance
    La résistance diminue lorsque l'éclairement augmente.
  • La magnétorésistance
    La résistance augmente en présence d'un champ magnétique.
Ces dipôles sont utilisés comme capteur de la grandeur physique à mesurer.

1.5.4  Dipôles passifs non linéaires

Dipôles non linéaires symétriques

Exemple :   la varistance
La caractéristique n'est pas une droite mais est symétrique

Dipôles non linéaires asymétriques

Exemple :   la diode zener
La diode zener se comporte comme une diode "classique" dans le sens passant, mais présente un phénomène de claquage dans le sens bloqué à partir d'une certaine tension négative (utilisation en régulateur de tension).

1.6  Dipôles actifs - Généralités

1.6.1  Objectifs

  • Connaître la définition d'un dipôle actif. Choisir la bonne convention.
  • Savoir représenter les puissances mises en jeu.
  • Connaître quelques exemples de dipôles actifs.

1.6.2  Définition et convention

Définition

La caractéristique U = f (I) ou I = f (U) d'un dipôle actif ne passe pas par l'origine des axes. De plus, il peut fournir de l'énergie électrique.
Remarque :  
  • Si I = 0 (circuit ouvert) on a U = U0 ≠ 0, c'est la tension à vide des piles par exemple.
  • Si U = 0 (court-circuit) on a I = ICC ≠ 0, c'est le courant de court-circuit qui peut être très élevé dans le cas d'une batterie.

Convention générateur

Pour une batterie par exemple, le courant sort par la borne "+" (potentiel le plus fort). Il est donc naturel de choisir la convention schématisé ci-dessous que l'on nommera " convention générateur "

Puissances mises en jeu

Un dipôle actif générateur transforme une puissance d'origine non électrique en une puissance électrique avec un certain rendement (puissance perdue en chaleur par exemple) Un dipôle actif récepteur transforme une puissance électrique en puissance non électrique (recharge d'une batterie, dynamo utilisée en moteur).

1.6.3  Exemples de dipôles actifs

Dipôles actifs autonomes

Ce sont les piles et les accumulateurs. La puissance provient des réactions chimiques internes et est transformée en puissance électrique. L'accumulateur est réversible, il se comporte en récepteur lors de la recharge.

Dipôles actifs non autonomes

La puissance transformée vient de l'extérieur.
  • Prenons pour exemple la photopile qui transforme la puissance lumineuse en puissance électrique.
  • Un autre exemple est celui de la machine à courant continu où la puissance mécanique est transformée en puissance électrique (génératrice) ou inversement (moteur).

1.7  Dipôles actifs linéaires

1.7.1  Objectifs

  • Connaître la caractéristique U=f(I) ou I=g(U) d'un dipôle actif linéaire.
  • Savoir déterminer les éléments du M.E.T. et du M.E.N.
  • Connaître la caractéristique d'une source linéaire parfaite.

1.7.2  Approximation linéaire

La plupart des dipôles actifs ne sont pas linéaires. Cependant, une partie de la caractéristique U=f(I) peut être assimilée à une droite.
Linéariser revient à remplacer une partie de la courbe par une droite. L'équation de la droite sera de la forme U = U0 − R0I avec : U0 ordonnée à l'origine (tension à vide) R0 = [(∆U)/(∆I)] (pente de la droite).

1.7.3  Modèles électriques équivalents

Modèle équivalent de Thévenin M.E.T.

Un dipôle actif composé d'une source de tension U0 en série avec une résistance R0 aura à ses bornes une tension U = U0 − R0 I. Tout dipôle actif linéaire pourra donc être remplacé par une source de tension U0 en série avec une résistance R0. C'est le modèle équivalent de Thévenin (M.E.T.)
U0 est la tension à vide du dipôle actif linéaire(lorsque I = 0). R0 est la résistance interne du dipôle actif linéaire.

Modèle équivalent de Norton (M.E.N.)

La relation U = U0 − R0 I peut aussi s'écrire
I= U0

R0
1

R0
U ⇒ I=I0 1

R0
U.
Un dipôle actif composé d'une source de courant I0 en parallèle avec une résistance R0 débitera un courant I=I0−[1/(R0)]U.
Tout dipôle actif linéaire pourra donc être remplacé par une source de courant I0 en parallèle avec une résistance R0. C'est le modèle équivalent de Norton (M.E.N.).
I0 est le courant de court-circuit (U = 0) souvent fictif ; c'est le point d'intersection de la courbe avec l'axe des courants. R0 est la résistance interne. On peut aussi considérer la conductance interne G0 et dans ce cas :
G0 = 1

R0
⇒ I = I0 − G0 U.

1.7.4  Équivalence entre les deux modèles

Les modèles de Thévenin et de Norton sont équivalents.
  • Pour passer de " Thévenin " vers " Norton " on pose I0 = [(U0)/(R0)] et on place la résistance R0 en parallèle avec la source de courant I0.
  • Pour passer de " Norton " vers " Thévenin " on pose U0 = R0 I0 et on place la résistance R0 en série avec la source de tension U0.

1.7.5  Sources linéaires parfaites

  • Source parfaite de tension : U = U0 quel que soit I (IMIN < I < IMAX) La source impose la tension et le récepteur détermine le courant. La résistance interne R0 est égale à 0 Ω et la pente de la droite U=f(I) est nulle.
  • Source parfaite de courant : I = I0 quel que soit U (UMIN < U < UMAX) La source impose le courant et le récepteur détermine la tension. La résistance interne R0 est infinie (G0 = 0 S) et la pente de la droite I=g(U) est nulle.

1.8  Association de dipôles actifs linéaires -
Association dipôle actif - dipôle passif

1.8.1  Objectifs

  • Savoir déterminer le M.E.T. d'une association série de dipôles actifs linéaires.
  • Savoir déterminer le M.E.N. puis le M.E.T. d'une association parallèle de dipôles actifs linéaires.
  • Prévoir le comportement électrique d'un dipôle passif lorsqu'il est alimenté par un dipôle actif linéaire (point de fonctionnement).

1.8.2  Association série

Définition

Des dipôles actifs sont en série, lorsque la borne " - " de l'un est reliée à la borne " + " de l'autre.

Exemple avec deux dipôles

On a :
U = E1 + E2 − R1I − R2I = E1 + E2 − (R1+R2)I⇒ U = ES − RSI avec ES = E1 + E2 et RS = R1 + R2.

Loi pour une association de N dipôles actifs linéaires en série


ES = E1 + E2 + …+ EN
Les tensions à vide s'ajoutent.
RS = R1 + R2 + …+ RN
Les résistances internes s'ajoutent. Si les N dipôles sont identiques, on a : ES = N.E et RS = N.R.

1.8.3  Association parallèle

Définition

Des dipôles actifs sont en parallèle, lorsque les borne de même signe sont reliées entre elles.

Exemple avec deux dipôles

On a :
Ip= E1

R1
+ E2

R2
et Rp = R1 // R2 = R1R2

R1+R2
(modèle de Norton)
et
EP = RP IP (modèle de Thévenin).

Loi pour une association de N dipôles actifs linéaires en parallèle


IP = I1 + I2 + …+ IN
Les courants de court-circuit s'ajoutent.
GP = G1 + G2 + …+ GN
Les conductances internes s'ajoutent. ou
RP = R1 // R2 // …// RN
Les résistances internes se mettent en parallèle. Si les N dipôles sont identiques, on a :
EP = E et RP = R

N
.

Remarques

  • L'association en série permet "d'augmenter" la tension mais pas l'intensité.
  • L'association en parallèle permet "d'augmenter" l'intensité mais pas la tension.
  • En général, il ne faut pas associer des sources parfaites de tension en parallèle.
  • En général, il ne faut pas associer des sources parfaites de courant en série.

1.8.4  Association dipôle actif - dipôle passif

Introduction

Lorsqu'on alimente un dipôle (lampe, diode, résistance), on réalise une association dipôle passif - dipôle actif.
Il est préférable de prévoir les valeurs de la tension et ldu courant qui résulteront de cette association. Un exemple concret illustrera plusieurs méthodes de prévision.

Cas général

Alimentons un récepteur (dipôle passif) à l'aide d'un générateur linéaire (dipôle actif linéaire ou linéarisé). Pour prédire la valeur de UP et la valeur de IP (point de fonctionnement), on va décrire trois méthodes :
  1. Méthode par la mesure ou par simulation Il suffit de réaliser le branchement et de mesurer directement UP et IP.
    • Avantage : méthode directe qui donne les vrais résultats.
    • Inconvénients : nécessité d'avoir le matériel de mesure ou de simulation et possibilité de dépassement des limites (destruction du générateur ou du récepteur).
  2. Méthode graphique On suppose ici qu'on connaît les caractéristiques U = f(I) du générateur et du récepteur. Il suffit de juxtaposer les deux caractéristiques et l'intersection des deux courbes donnera le point de fonctionnement (abscisse IP et ordonnée UP).
    • Avantage : méthode graphique sans calcul.
    • Inconvénients : nécessité d'avoir les données pour tracer les deux courbes sur le même graphe et à la même échelle.
  3. Méthode par le calcul On suppose ici qu'on connaît les équations U = f(I) du générateur et du récepteur.
    Considérons un exemple :
    Equation du générateur U = 12 − 5.I (U0 = 12V et R0 = 5W)
    Equation de récepteur U = 20.I (Résistance de 20W) Il suffit de résoudre le système d'équations :
    U = 12 − 5I et U = 20 I

    ⇒ 20I = 12−5I ⇒ 25I = 12 ⇒ I= 12

    25
    =0,48 A et U=20×0,48 = 9,6 V

Etude d'un exemple

Nous voulons brancher une diode électroluminescente directement sur une des sorties du port série RS232 d'un ordinateur.
  1. Méthode par la mesure La sortie du port série est protégée et délivre au maximum 10mA. On peut donc brancher directement la LED et on mesure directement :
    UP ≈ 1,93 V et IP ≈ 9,8 mA.
  2. Méthode graphique La superposition des deus caractéristiques U = f(I) donne un point d'intersection d'abscisse
    UP ≈ 1,95 V et IP ≈ 9,3 mA.
  3. Méthode par le calcul Le générateur possède une tension à vide U0 = 11 V et une résistance interne R0 = 900 Ω. La relation courant-tension est : U = 11 − 900.I La caractéristique du récepteur (LED) a été linéarisée : U = 1,8 + 13,8.I Il suffit de résoudre le système d'équation
    U = 11 − 900I et U = 1,8 + 13,8I

    ⇒ 1,8 +13,8I = U = 11− 900I ⇒ 913,8I = 9,2

    ⇒I= 9,2

    913,8
    ≈ 10,1 mA ⇒ U = 11 −900×10,1.10−3 ⇒ U ≈ 1,91V.

Conclusion

Il n'existe pas de recette "type" pour prévoir le comportement électrique d'un générateur et d'un récepteur connectés ensemble.
  • Si les dipôles ne sont pas linéaires, la méthode graphique ou la méthode par la mesure directe sera nécessaire.
  • Si les modèles sont connus, la méthode par le calcul sera la plus rapide.
Dans tous les cas, il est important d'évaluer, même grossièrement, les valeurs de tension et de courant lors de l'alimentation d'un récepteur. Une mauvaise appréciation peut entraîner la détérioration du récepteur ou du générateur.

1.9  Théorème de superposition

1.9.1  Objectifs

  • Connaître le modèle d'une source éteinte (source de tension ou source de courant).
  • Résoudre un problème comportant plusieurs sources d'énergie.
  • Appliquer la méthode d'extinction des sources pour trouver rapidement le modèle de
  • Thévenin ou le modèle de Norton.

1.9.2  Étude d'un exemple

Essayons d'utiliser une autre méthode que la transformation Thévenin ↔ Norton pour trouver la tension U0 dans le circuit ci-dessous :
La méthode consiste à ne faire agir qu'une seule source à la fois. Dans un premier temps on prendra E2 = 0 et on calculera U01 (source E1 agissant seule). Dans un deuxième temps on prendra E1 = 0 et on calculera U02 (source E2 agissant seule).
On a donc :
U01 = E1 R2

R1+R2
et U02 = E2 R1

R1+R2
Pour exprimer U0 il suffit de faire :
U0 = U01 + U02.

1.9.3  Théorème de superposition

Énoncé 1 :

La tension entre deux points d'un circuit électrique linéaire comportant plusieurs sources d'énergie est égale à la somme des tensions obtenues entre ces deux points lorsque chaque source agit seule. Le théorème s'applique aussi aux courants :

Énoncé 2 :

Le courant dans une branche AB d'un circuit électrique linéaire comportant plusieurs sources d'énergie est égal à la somme des intensités des courants dans cette branche lorsque chaque source agit seule.

1.9.4  Méthode d'extinction des sources

Source de tension

Une source de tension n'agit plus lorsque sa tension est égale à zéro Volt. Il est donc naturel de la remplacer alors par un "court circuit" (résistance nulle).

Source de courant

Une source de courant n'agit plus lorsque son courant est égal à zéro Ampère. Il est donc naturel de la remplacer alors par un "circuit ouvert" (résistance infinie).

1.9.5  Application à la détermination des M.E.T. et M.E.N.

Modèle de Thévenin (ETH et RTH)

Pour déterminer RTH il suffit d'éteindre toutes les sources et de calculer ou de mesurer la résistance vue des deux bornes du circuit. Pour déterminer ETH il suffit d'éteindre toutes les sources sauf une et de calculer ou de mesurer la tension aux deux bornes du circuit. ETH sera égale à la somme de toutes les tensions "partielles" correspondantes à une seule source.

Modèle de Norton (IN et RN)

Pour déterminer RN il suffit d'éteindre toutes les sources et de calculer ou de mesurer la résistance vue des deux bornes du circuit (identique à la détermination de RTH car RN = RTH) Pour déterminer IN il suffit d'éteindre toutes les sources sauf une et de calculer ou de mesurer le courant de court-circuit. IN sera égale à la somme de tous les courants de courtcircuit "partiels" correspondants à une seule source.

1.10  Puissance et énergie électriques

1.10.1  Objectifs

  • Connaître la relation donnant la puissance reçue par un dipôle en fonction de U et I.
  • Connaître la relation entre puissance et énergie en régime permanent.
  • Appréhender la notion de rendement.
  • Comprendre l'effet Joule.

1.10.2  La puissance électrique

Expression générale de la puissance électrique

Soit un dipôle D quelconque, traversé par un courant d'intensité i et soumis à la tension u. Avec la convention récepteur (schéma ci-dessous), la puissance reçue par D s'écrit :
La puissance est une grandeur algébrique dont le signe dépend de la convention choisie. Avec la convention récepteur, le comportement du dipôle est le suivant :
  • si p = ui > 0, alors le dipôle reçoit la puissance (récepteur)
  • si p = ui < 0, alors le dipôle fournit la puissance (générateur).

Mesure de la puissance électrique

En général, la puissance se mesure avec un Wattmètre (schéma ci-dessous).
Cet appareil mesure à la fois la tension et le courant pour en déduire la puissance. Sur les Wattmètres modernes, la mesure du courant se fait à l'aide d'une pince ampèremétrique.
En courant continu, la mesure de la tension u et du courant i permet de calculer la puissance p = u.i (attention à la convention).

Puissance dans les résistors linéaires ("résistances")

Pour une résistance R, la relation entre u et i est u = Ri. On a p = ui donc p = Ri2 mais aussi p=[(u2)/R].

1.10.3  L'énergie électrique

Relation entre puissance et énergie

En régime permanent, si un dipôle D a consommé la puissance constante P pendant une durée t, alors il a reçu l'énergie W (Schéma ci-dessous) :
Pour une puissance constante, l'énergie augmente linéairement. L'énergie augmente avec la puissance mais aussi avec le temps. Pour les fortes quantités d'énergie, on utilise une autre unité, le Wattheure (W.h) :
  • 1 W.h = 3600 J
  • 1 kW.h = 103 W.h = 3,6.106 J.

Expression de l'énergie électrique

  1. Régime permanent On a vu que W = P.t avec P=U.I donc W=U.I.t
  2. Cas général On définit la quantité d'électricité traversant le dipôle par Q = I.t avec Q en Coulombs (C). On en déduit donc :
    W = QU = Q(VA − VB).

    Loi : Toute charge électrique Q passant d'un point A où le potentiel est VA à un point B où le potentiel est VB reçoit l'énergie électrique W = QU = Q(VA − VB).

Loi de Joule

Dans le cas d'un résistor linéaire de résistance R, l'énergie reçue et dissipée sous forme de chaleur WJ = U.I.t peut s'écrire en tenant compte de la relation U = RI :
WJ = RI2t
avec WJ en joules (J); R en ohms (Ω); I en ampères (A) et t en secondes (s).
Cette relation traduit la loi de Joule. On dit que l'énergie est dissipée par effet Joule.

Mesure de l'énergie électrique

La mesure de l'énergie électrique se fait avec un compteur d'énergie. Il est caractérisé par une constante k qui représente l'énergie reçue par l'installation pour un tour du disque. Par exemple, si k = 2,5 W.h / tr alors un tour de disque correspond à une consommation de 2,5 W.h.

1.10.4  Conservation de l'énergie

Principe de conservation de l'énergie

L'énergie se trouve sous diverses formes :
  • mécanique (moteur, le vent ...),
  • électrique (turbine génératrice, EDF ...),
  • chimique (batterie, pile à combustible),
  • thermique (résistance chauffante, combustion d'un carburant ...),
  • rayonnement (soleil, lampe infrarouge ...).
L'énergie subit des transformations, par exemple :
  • dans un résistor, l'énergie électrique est transformée en énergie thermique,
  • dans un moteur, l'énergie électrique est transformée en énergie mécanique.
  • dans une batterie, l'énergie chimique se transforme en énergie électrique.
Loi :   énergie reçue par un système = variation de son énergie interne + énergie fournie. L'énergie fournie par un système est composée d'énergie utile et d'énergie perdue.
Exemple 1 :   La batterie d'accumulateur (énergie stockée)
Exemple 2 :   La photopile

Transformation de l'énergie dans un résistor

Lorsqu'un résistor reçoit une puissance P = UI constante, sa température augmente (phase d'échauffement avec augmentation de l'énergie interne), puis se stabilise pour atteindre une température constante (phase d'équilibre thermique avec énergie interne constante). Lorsque la puissance reçue redevient nulle, la température diminue et revient à sa valeur initiale (diminution de l'énergie interne). L'évolution de la température est schématisée ci-dessous :

1.10.5  Rendement

Bilan des puissances

Système en équilibre : puissance absorbée Pa = puissance utile Pu + puissance perdue Pp

Rendement d'un convertisseur

Définition :   Le rendement d'un système est défini par le rapport :
η = Puissance absorbée

Puissance utile
= Pu

Pa
\leqslant1
et on a aussi

η = Pu

Pu+Pp
Exemples :  
  • Photopile → η ≤ 10 %.
  • Moteur électrique → 85 % ≤ η ≤ 98 %.
  • Résistance chauffante → η = 100 %.

1.11  Les condensateurs

1.11.1  Objectifs

  • Connaître la constitution interne d'un condensateur.
  • Connaître les propriétés d'un condensateur (capacité, relation courant-tension, énergie,).
  • Savoir comment associer des condensateurs.
  • Connaître les différentes utilisations du condensateur en électronique.
  • Avoir les connaissances de base sur le champ électrique et la force électrostatique.

1.11.2  Constitution d'un condensateur

Présentation

Un condensateur se présente en général comme un dipôle polarisé, ou non polarisé, dont voici quelques exemples :

Constitution

Un condensateur est constitué de deux surfaces conductrices (armatures) séparées par un isolant (diélectrique). Le contact électrique se fait sur chacune des armatures.

Symbole

1.11.3  Propriétés d'un condensateur

Charge d'un condensateur à courant constant

  • Montage expérimental Il s'agit de faire circuler un courant constant I = 1 mA dans un condensateur et de relever l'évolution de la tension :
    Initialement, l'interrupteur K est fermé et à partir de l'instant t = 0, K est ouvert.
  • Chronogramme u(t) et tableau de valeurs

    Observation : La tension augmente linéairement au cours du temps.

Capacité d'un condensateur

Reprenons l'expérience de charge à courant constant :
  • Le condensateur reçoit une quantité d'électricité q = I.t, donc q augmente linéairement au cours du temps.
  • La tension u aux bornes du condensateur augmente linéairement elle aussi, il y a donc proportionnalité entre q et u. On peut dire que q = "constante" ' u.
Définition :   La capacité C d'un condensateur est définie par la relation :
q=C.u
avec q en coulomb C, C en farad F et u en volt V.
Ordre de grandeur et sous-multiples :  
  • électronique : pF (10−12 F) ; nF (10−9 F) et μF (10−6 F)
  • électrotechnique : μF (10−6 F) ; mF (10−3 F) et F.
Remarque (uniquement pour la charge à courant constant) :   On a u=[q/C] avec q = I.t donc u=[I/C].t (droite de coefficient directeur [I/C]).
Dans l'expérience, le coeff. directeur de la droite est [(4,55 − 0)/(10−0)] ≈ 0,4555 V.s−1 et ce résultat est aussi égal à [I/C]. Donc C=[I/0,455]=[(1.10−3)/0,455] ≈ 2,2 mF ou C = 2200 μF.

Relation entre courant et tension

Chargeons un condensateur avec successivement les valeurs +I ; 0 et I (1 mA ; 0 et −1 mA). Les figures ci-dessous représentent les chronogrammes de u(t) et i(t) :
  • 0 < t < 300 ms : La tension u croît linéairement, le coefficient directeur de la droite est positif : [(∆u)/(∆t)]=[(+I)/C].
  • 300 < t < 600 ms : La tension u reste constante, le coefficient directeur de la droite est donc égal à zéro : [(∆u)/(∆t)]=[0/C]=0.
  • 600 < t < 900 ms : La tension u décroît linéairement, le coefficient directeur de la droite est négatif : [(∆u)/(∆t)]=[(−I)/C].
    Loi : La relation entre l'intensité du courant et la tension aux bornes d'un condensateur parfait est : i=C[(∆u)/(∆t)] ou i=C[du/dt].
Le courant est responsable de la variation de tension.
Remarque :   Par analogie hydraulique, on peut comparer le condensateur à un ballon extensible dont le volume augmente lors du remplissage. Le courant et la tension seront respectivement assimilés au débit de liquide et au volume du ballon :
  • On peut donc estimer qu'un condensateur est un "réservoir" de tension.
  • Seul un courant très élevé peut faire varier brusquement la tension aux bornes d'un condensateur. On peut donc considérer que la tension aux bornes d'un condensateur ne peut varier brusquement.

Charges portées par les armatures

Dans un condensateur (schéma ci-dessous), les charges électriques ne peuvent traverser l'isolant.
Les porteurs de charges QA s'accumulent sur la surface de l'armature A et les porteurs de charges QB s'accumulent sur la surface de l'armature B. On a donc :
QA = −QB = C (VA − VB) = C UAB.
Remarque :   Lorsqu'on parle de "charge" d'un condensateur, il s'agit de la valeur absolue de la charge :
Q = |QA| = |QB|.

Energie stockée dans un condensateur

Reprenons l'expérience de charge du condensateur à courant constant (I = 1 mA). La puissance p = u.i reçue par le condensateur croît linéairement au cours du temps (figure ci-dessous) :
L'énergie W stockée, par le condensateur jusqu'à la durée t1, est représentée par la surface colorée. On a donc :
W=p1 t1

2
=u1I t1

2
=u1 Q1

2
.
Loi :   L'énergie stockée dans un condensateur dépend de la charge Q accumulée et donc de la tension U à ses bornes :
W= 1

2
QU= 1

2
Q2

C
= 1

2
CU2.
Q en coulombs (C), U en volts (V), W en joules (J), C en Farads (F).

1.11.4  Associations de condensateurs

Association parallèle (somme des charges)

L'association en parallèle induit une augmentation de la surface des armatures donc :
QP = Q1 + Q2 ⇒ CPU = C1U + C2U
Loi :   La capacité équivalente pour N condensateurs en parallèle est égale à la somme des capacités.
CP = C1 + C2 + …+ CN.
Remarque :   L'association en parallèle permet d'augmenter la capacité.

Association série (somme des tensions)

Dans une association série, la charge stockée Q est identique pour tous les condensateurs.
On a :
U = U1 + U2 Q

CS
= Q

C1
+ Q

C2
.
Loi :   L'inverse de la capacité équivalente pour N condensateurs en parallèle est égale à la somme des inverses des capacités.
1

CS
= 1

C1
+ 1

C2
+…+ 1

CN
.
Remarque :   L'association en série permet d'augmenter la tension d'utilisation.

1.11.5  Champ électrique et forces électrostatiques

Capacité d'un condensateur plan

La capacité C d'un condensateur plan dépend de sa géométrie :

    → C est proportionnelle à la surface S d'une armature.
    → Cest inversement proportionnelle à l'épaisseur e du diélectrique.
La capacité C d'un condensateur plan dépend aussi de la nature du diélectrique :

    → C est proportionnelle à ϵ (permittivité du diélectrique).
Remarque :   on pose ϵ = ϵ0 ϵr avec
ϵ0= 1

36π.109
 F.m−1 = permittivité du vide (air)
et ϵr permittivité relative du diélectrique.
C=ϵ0ϵr S

e
.
unités :  
  • S en mètres carrés (m2)
  • ϵ0 en F.m−1
  • ϵr sans unités
  • e en mètres.
Exemple :   Calculons la capacité C d'un condensateur dont les caractéristiques sont :
  • surface S = 10 dm2
  • épaisseur de l'isolant e = 100 μm
  • permittivité relative ϵr = 7 (condensateur au micas).
    C = 1

    36π.109
    ×7× 10.10−2

    100.10−6
    ≈ 62 nF.

Champ électrique dans un condensateur

La concentration de charges +Q à la surface d'une plaque et de charges −Q à la surface de l'autre plaque, induit un champ électrique E dirigé des charges +Q vers les charges −Q. L'intensité E de ce champ électrique est :
E= uAB

e
unités :  
  • UAB en volts (V)
  • e en mètres (m)
  • E en volts par mètres (V.m−1).

Champ disruptif

Il existe une limite à l'intensité du champ électrique dans le diélectrique. Au-delà d'une certaine intensité, le diélectrique peut être détruit. Le champ maximal est appelé champ disruptif. Au champ disruptif correspond une valeur maximale de tension qu'il ne faut jamais atteindre.
Exemple :   Calculons la capacité C et la tension maximale UMAX admissible pour un condensateur mylar (polyester MKT) dont les caractéristiques sont :
  • surface S = 2 dm2
  • permittivité relative ϵr = 3,25
  • épaisseur diélectrique e = 2 mm
  • champ disruptif EMAX = 200 MV/m.
    C = 1

    36π.109
    ×3,25× 2.10−2

    2.10−6
    ≈ 290 nF.

    UMAX=EMAX.e=200.106×2.10−6=400 V.

Force électrostatique

Un porteur de charge électrique q, placé dans un champ électrique E subit une force électrostatique F telle que :

F
 
= q

F
 
q en coulomb (C), E en (volt.m−1) et F en newtons (N).

Application de la force électrostatique : l'oscilloscope cathodique

Un oscilloscope sert à visualiser l'évolution d'une tension au cours du temps. La tension à mesurer est amplifiée pour donner la tension VY qui sera appliquée sur les plaques de déviation verticale. Une tension VX en dent de scie est produite par l'oscilloscope et appliquée sur les plaques de déviation horizontale pour faire déplacer le spot de gauche à droite. Différents réglages permettent d'adapter la vitesse horizontale du spot, ainsi que l'amplification de la tension à mesurer, pour visualiser correctement le signal.
Le principe physique est la déviation d'un faisceau d'électron par le champ électrique présent entre des plaques de déviation.

Schéma interne du tube cathodique :

Attention !! La trajectoire des électrons qui viennent frapper l'écran d'un oscilloscope ne peut être qu'une droite après les plaques de déviation.

1.11.6  Utilisation des condensateurs

Objectifs

L'objet de ce chapitre est d'indiquer, sans développement théorique, différentes utilisations des condensateurs en électronique.

Production de "rampe" de tension

  1. Avec générateur de courant Il s'agit de faire circuler un courant constant I dans un condensateur C. La tension évolue linéairement et le coefficient directeur est :
    ∆uC

    t
    = I

    C
    .
    On a donc :
    uC(t)=uC(0)+ I

    C
    t.
  2. Avec circuit intégrateur et tension constante La tension E est constante donc :
    vS(t)=− E

    RC
    t +vS(0).
Remarque :   La réglage de la rampe de tension se fait en ajustant la tension E.

Lissage en sortie d'un pont redresseur

La tension en sortie d'un pont redresseur double alternance a l'allure d'une sinusoïde "redressée" c'est à dire ayant subit la fonction "valeur absolue". Cette tension positive présente des variations importantes; on branche donc, en sortie du pont, un condensateur chimique de forte capacité pour äbsorber" le maximum de variations de tension (schéma et graphe ci-dessous).
Analyse du chronogramme :  
  • de 0 à t1, le condensateur se charge "rapidement" en suivant les variations de la tension en sortie du pont.
  • de t1 à t2, le condensateur se décharge "lentement" dans le récepteur RC et bloque les diodes du pont car la tension à l'entrée du pont chute plus rapidement que celle du condensateur. Ici, c'est le condensateur qui fournit l'énergie à la charge RC.
  • de t2 à t3, la tension redressée devient supérieure à celle du condensateur, celui-ci se recharge rapidement en suivant la tension redressée.

Fonction temporisation

Il s'agit ici de charger ou de décharger un condensateur avec une source de tension et à travers une résistance. C'est la durée de charge ou de décharge qui permet de réaliser une "temporisation". À l'instant t = 0, le condensateur est déchargé et on ferme l'interrupteur K.
  • Courbe de charge

    uC(t)=E(1−e−[t/(τ)]) avec τ = R.C
    (τ en s; R en Ω et C en F).
    La courbe uC (t) possède les propriétés ci-dessous :
    1. L'asymptote horizontale coupe la tangente à l'origine à l'instant t = τ = R.C.
    2. À l'instant t = τ, le condensateur est chargé à 63% (uC (τ) = 0,63E).
    3. Aux instants t = 2τ, 3τ et 5τ le condensateur est chargé à 86%, 95% et 99%.
    4. Le temps pour passer de 0 à 1/3 de E est : t = τln(3/2) ≈ 0,405τ.
    5. Le temps pour passer de 0 à 2/3 de E est : t = τln3 ≈ 1,10τ.
    6. Le temps pour passer de 1/3 à 2/3 de E est : t = τln2 ≈ 0,693τ.
    7. Le temps pour passer de 0 à 1/2 de E est : t = τln2 ≈ 0,693τ (non représenté sur le graphe).
  • Courbe de décharge Supposons que le condensateur soit initialement chargé avec la tension uC (0) = E. À l'instant t = 0, l'interrupteur K est fermé.

    uC(t) = E.e−t /τ
    avec τ = R.C (τ en s; R en Ω et C en F).
    La courbe uC (t) possède les propriétés ci-dessous :
    1. L'asymptote horizontale coupe la tangente à l'origine à l'instant t = τ = R.C.
    2. À l'instant t = τ, le condensateur n'est plus chargé qu'à 37% (uC (τ) = 0,37E).
    3. Aux instants t = 2τ, 3τ et 5τ le condensateur n'est plus chargé qu'à 14%, 5% et 0,7%.
    4. Le temps pour passer de E à 2/3 de E est : t = τln(3/2) ≈ 0,405τ.
    5. Le temps pour passer de E à 1/3 de E est : t = τln3 ≈ 1,10τ.
    6. Le temps pour passer de 2/3 à 1/3 de E est : t = τln2 ≈ 0,693τ.
    7. Le temps pour passer de E à 1/2 de E est : t = τln2 ≈ 0,693τ (non représenté sur le graphe).
  • Courbe générale de charge :
    uC(t) = (U − U0)(1− e−t/τ)+U0.
  • Courbe générale de décharge :
    uC(t) = (U0−U) e−t/τ+U.
    La relation donnant ∆t en fonction de U2 et U1 est :
    ∆t = t2−t1=τln U−U1

    U−U2
    .
    Remarque :   cette relation est valable pour les deux courbes (charge et décharge).

Fonction filtrage

  • Filtre passe-bas passif La tension aux bornes du condensateur (montage ci-dessous) représente la tension de sortie du filtre. Le condensateur absorbe les variations rapides de tension, les "hautes fréquences" seront donc atténuées tandis que les "basses fréquences" seront transmises. La fonction de transfert du filtre est :
    T(jω)= 1

    1+jω/ω0
    avec ω0= 1

    RC
    .
    Le graphe ci-dessous illustre l'utilisation du filtre pour éliminer un signal parasite " haute fréquence " :
  • Filtre passe-haut passif À l'inverse du filtre passe-bas, le filtre passe-haut va atténuer les basses fréquences pour laisser "passer" les plus hautes fréquences. La fonction de transfert du filtre est :
    T(jω)= jω/ω0

    1+jω/ω0
    avec ω0= 1

    RC
    .
    Le graphe ci-dessous illustre l'utilisation du filtre pour éliminer la composante continue d'un signal (très utilisé à l'entrée d'un amplificateur).

Transformation Front → Impulsion

  • Montage de base La transformation d'un signal "carré" en signal impulsionnel est souvent mise en oeuvre en électronique. Un condensateur et une résistance suffisent pour réaliser cette transformation. Le schéma et le chronogramme ci-dessous illustrent la transformation Front → Impulsion.

    Analyse des chronogrammes : Lors d'un changement "brutal" de tension u1 (front), le condensateur ne se charge pas immédiatement à cause de la résistance R. Le potentiel au point B suit donc la même variation que le potentiel au point A. Le condensateur va ensuite se charger à travers la résistance R et le potentiel au point B va tendre vers zéro. Pour que cette charge soit rapide (impulsions), il faut que la constante de temps τ = RC soit petite devant la période T du signal. Pour l'exemple des chronogrammes ci-dessus, on a τ = T / 50.
    Remarque :   Ici, les fronts montants et les fronts descendants sont transformés respectivement en impulsions positives et négatives.
  • Montage " amélioré " Les impulsions négatives peuvent être néfastes dans certains cas. On peut améliorer le dispositif en " éliminant " ces impulsions négatives. Il suffit d'ajouter au montage, une diode de redressement qui " absorbera " les tensions négatives (schéma et chronogramme ci-dessous) :

    Analyse des chronogrammes : Pour les impulsions positives, la diode est bloquée et n'a donc aucun effet sur la tension u2. Lors d'une impulsion négative, la diode devient passante et la tension u2 doit idéalement être égale à zéro volts. En pratique, on sait que la diode passante présente une tension de seuil (0,7 V pour une diode au silicium). La tension u2 est donc constituée d'impulsions positives (5 V) et d'impulsions négatives (−0,7 V). Ces impulsions négatives, de part leur faible tension, seront considérées comme négligeables.
    Remarque :   Pour éliminer les impulsions positives, il suffit d'inverser le sens de branchement de la diode.

Chapitre 2
Électromagnétisme

2.1  Champ magnétique - spectre

2.1.1  Objectifs

  • Connaître les différentes sources de champ magnétique.
  • Justifier l'utilisation du vecteur pour caractériser le champ magnétique.
  • Observer le spectre de quelques sources de champ.

2.1.2  Sources de champ magnétique

Détecteur de champ magnétique

Une aiguille aimantée s'oriente et garde une position stable en présence d'un champ magnétique. Nous allons donc utiliser cette aiguille comme détecteur de champ magnétique.

Les sources de champ magnétique

  • Les aimants L'approche d'une aiguille aimantée vers un aimant droit donne les résultats suivants :
    • L'aiguille change de sens suivant l'extrémité de l'aimant qu'elle approche.
    • Le pôle nord de l'aiguille est attiré par le pôle sud de l'aimant.
    On peut donc en déduire les propriétés suivantes :
    1. Un aimant droit possède un pôle nord et un pôle sud.
    2. Les pôles opposés s'attirent et les pôles semblables se repoussent.
    3. L'aiguille aimantée est un aimant à deux pôles.
    Remarque :   Les aimants se trouvent à l'état naturel et sont connus depuis l'antiquité, ils ont été utilisés pour réaliser les premières boussoles.
  • Le champ magnétique terrestre L'aiguille aimantée s'oriente dans une direction et un sens précis sans l'influence d'un aimant proche. De plus le pôle nord de l'aiguille indique le pôle Nord géographique. On en déduit donc que :
    1. La planète Terre est une source de champ magnétique.
    2. Le pôle Nord géographique est en fait le pôle sud magnétique.
  • Circuits parcourus par des courants Approchons l'aiguille aimantée d'un circuit électrique. En l'absence de courant dans le circuit, l'aiguille indique le Nord géographique. En présence d'un courant dans le circuit, l'aiguille s'oriente dans une autre position stable et cette position s'inverse si on change le sens du courant dans le circuit. On en déduit donc les propriétés suivantes :
    1. Tout circuit électrique parcouru par un courant est une source de champ magnétique.
    2. Le sens du champ magnétique peut être inversé en changeant le sens du courant.

2.1.3  Le vecteur champ magnétique

Direction du champ magnétique

Approchons une aiguille aimantée vers un aimant droit. Nous constatons que l'aiguille garde une direction stable.
On en déduit donc que le champ magnétique a une direction.

Sens du champ magnétique

Reprenons l'expérience précédente et forçons l'aiguille à faire une rotation de 180° en précisant que nous n'avons pas changé la direction de l'aiguille mais seulement son sens. On constate que l'aiguille revient systématiquement à sa position d'origine. On en déduit donc que le champ magnétique a un sens.

Intensité du champ magnétique

Reprenons l'expérience de l'aimant droit et plaçons deux aiguilles aimantées identiques au voisinage de l'aimant. Une des aiguilles sera placée proche de l'aimant. Ecartons les aiguilles de leurs positions stables. On constate que l'aiguille proche de l'aimant revient rapidement dans sa position d'origine par des oscillations rapides et brèves. L'effet inverse est observé pour l'aiguille éloignée.

Le vecteur champ magnétique

Le champ magnétique ayant une direction, un sens et une intensité, il est naturel de la représenter par un vecteur.
Définition :   Le champ magnétique en un point de l'espace sera représenté par un vecteur souvent nommé B dont les caractéristiques sont :
  • un point d'application (origine du vecteur)
  • une direction (parallèle à l'aiguille aimantée)
  • un sens (sens sudnord de l'aiguille)
  • une intensité (module B du vecteur B) dont l'unité est le tesla (T).
L'aiguille aimantée indique le point d'application, la direction et le sens du champ magnétique B.

L'intensité du champ magnétique en pratique

L'intensité du champ magnétique varie fortement en fonction de la nature de la source et de la distance ßource-mesure". Voici quelques exemples d'intensités du champ magnétique :
  • composante horizontale du champ terrestre : ≈ 20 μT
  • champ dans une bobine de laboratoire (I = 1 A) : quelques milliteslas
  • champ au voisinage d'un gros électroaimant : ≈ 1 T

Mesure du champ magnétique

L'intensité du champ magnétique dans une direction donnée peut se mesurer avec un teslamètre. Il est constitué des éléments suivants :
  • une sonde munie d'un capteur à ëffet Hall" dont la sortie sera une tension.
  • un amplificateur de tension avec réglage du "zéro" et de la sensibilité.
  • un dispositif d'affichage des valeurs de B en teslas

2.1.4  Spectre du champ magnétique

Lignes de champ

L'aiguille aimantée donne, entre autre, la direction et le sens du champ magnétique en un point de l'espace. Plaçons des aiguilles sur un plan au voisinage d'un aimant droit (schéma ci-dessous) :
On constate que les aiguilles s'orientent suivant une géométrie précise. En plaçant un nombre plus important d'aiguilles, on peut matérialiser des lignes de champ représentées en pointillés sur la figure ci-dessous :
Les lignes de champ ont les propriétés suivantes :
  • En chaque point, il ne passe qu'une ligne de champ (elles ne se coupent pas).
  • En un point donné, le vecteur champ magnétique B est tangent à la ligne de champ et dans le même sens.
  • Elles sont orientées du pôle nord de la source vers le pôle sud de la source.
  • Elles sont resserrées dans les régions où le champ est intense.
  • Elles sont parallèles dans les régions où le champ est uniforme.

Spectre magnétique

L'ensemble des lignes de champ constitue le spectre du champ magnétique. La géométrie du spectre magnétique dépend de la source de champ magnétique. Les figures ci-dessous représentent les spectres de quelques sources de champ :
  • Aimant en U
    Le champ est sensiblement uniforme entre les pôles de l'aimant.
  • Fil rectiligne parcouru par un courant
    Les lignes de champ sont des cercles centrés au point d'intersection du fil et du plan perpendiculaire. Le sens des lignes de champ est donné par la règle du tire-bouchon.
  • Spire circulaire
    • Le champ au centre est perpendiculaire au plan de la spire.
    • Le sens du champ est donné par la règle du tire bouchon.
    • La spire présente une face nord et une face sud.
    • Une bobine plate de plusieurs spires (diamètre grand devant la longueur) présentera un spectre similaire.
  • Solénoïde (bobine longue)
    Un solénoïde est une bobine dont la longueur est grande devant le diamètre.
    Si les spires sont jointives les propriétés sont :
    À l'intérieur de la bobine, les lignes de champ sont des droites parallèles, le champ est donc sensiblement uniforme et dirigé suivant l'axe de la bobine.
    À l'extérieur, le spectre est semblable à celui d'un aimant droit. Les pôles nord et sud sont donnés par la règle du tire-bouchon.
  • Bobine torique à spires jointives
    À l'intérieur, les spires sont des cercles concentriques et l'intensité du champ est sensiblement uniforme.
    À l'extérieur, le champ magnétique est négligeable. Le sens du champ magnétique à l'intérieur est donné par la règle du tire-bouchon.

2.1.5  Règle de la main droite

La règle de la main droite s'utilise comme la règle du tire bouchon :
  1. Le pouce indique le sens de déplacement du tire bouchon.
  2. L'orientation des autres doigts indique le sens de rotation du tire bouchon.
Le schéma ci-dessous illustre l'utilisation de la règle de la main droite pour trouver le sens du champ magnétique dans un solénoïde :
---->
Remarque :   Dans le cas du fil rectiligne, le pouce indique le sens du courant et les autres doigts indiquent le sens de rotation des lignes de champ.

2.2  Action du champ magnétique sur un faisceau d'électrons

2.2.1  Objectifs

  • Déterminer les caractéristiques de la force agissant sur la particule en mouvement.
  • Prévoir la forme de la trajectoire du faisceau d'électrons soumis à un champ magnétique.

2.2.2  Étude expérimentale

Deux bobines plates sont placées de telle sorte qu'un champ magnétique quasi-uniforme est présent au centre du dispositif. Plaçons un canon à électrons entre les deux bobines (figure ci-dessous) :
On observe une déviation du faisceau d'électrons dans la zone où règne le champ magnétique. Les électrons sont donc soumis à une force F appelée force de Lorentz. Le sens de cette force dépend des vecteurs qV et B en appliquant la règle de la main droite : F est sur le pouce, qV est sur l'index et B est sur le majeur (figure ci-dessous).

2.2.3  Interprétation

Une particule de charge q animée d'une vitesse V en un point de l'espace où règne un champ magnétique B est soumise à une force électromagnétique F dont les caractéristiques sont les suivantes :
  1. Direction : F est perpendiculaire au plan contenant les vecteurs V et B; F est donc perpendiculaire aux deux vecteurs.
  2. Sens : Le sens de F est déterminé par la règle de la main droite. On dit que le trièdre (F,qV,B) est direct.
  3. Module : F = q.V.B.sin(V,B) avec F en newtons (N); q en coulombs (C); V en mètres par seconde (m.s−1) et B en teslas (T).
Remarques :  
  • On rencontre souvent le cas où V est perpendiculaire à B, on a donc
    F = |q|.V.B
  • Si la particule se déplace parallèlement au champ magnétique, aucune force n'agît sur elle car sin(0) = 0.

2.2.4  Représentation des vecteurs dans le plan

On peut représenter un trièdre orthogonal de vecteurs sans utiliser la perspective. Prenons par exemple le trièdre orthogonal direct (F,qV,B) : Une vue en perspective donne :
Une représentation dans le plan donne :
Autre exemple :

2.3  Les courants sources de champ magnétique

2.3.1  Objectifs

  • Déterminer expérimentalement la relation entre champ et courant pour un solénoïde.
  • Savoir utiliser la relation champ-courant pour différents circuits élémentaires (fil rectiligne, bobine plate ...)

2.3.2  Étude expérimentale

Le dispositif représenté ci-dessous permet de mesurer l'intensité du champ magnétique au centre d'une bobine longue (solénoïde) mais aussi de mesurer l'intensité du courant traversant la bobine.
Les caractéristiques de la bobine sont : longueur l = 50 cm et N = 500 ou 1000 spires. Le nombre de spires par unité de longueur est donc : [N/(l)]=1000 ou 2000spires / m. Mesurons B pour différentes valeurs de l'intensité du courant I :
Observation :  
  1. La courbe B (I) est une droite passant par l'origine l'équation peut donc s'écrire B = k.I
  2. Le coefficient directeur k=[(∆B)/(∆I)] est proportionnel au rapport [N/(l)].
On mesure k ≈ 1,25.10−6[N/(l)] et la quantité 1,25.10−6 est indépendante de la géométrie de la bobine.

2.3.3  Interprétation

Le champ magnétique B à l'intérieur d'une bobine longue sans noyau (solénoïde) possède les propriétés suivantes :
  1. B est uniforme.
  2. Son module B est proportionnel à l'intensité du courant I traversant la bobine et est aussi proportionnel au nombre de spires par unité de longueur [N/(l)].
  3. La relation donnant B en fonction de I est la suivante :
    B=μ0 N

    l
    I
    avec :
    • μ0 = 4.π.10−7 T.m.A−1 (perméabilité du vide)
    • N = nombre de spires
    • l = longueur de la bobine (m)
    • I = intensité du courant traversant la bobine (A)
    • B = intensité du champ magnétique dans la bobine (T).
Généralisation :   Dans l'air, la proportionnalité entre le champ magnétique et l'intensité du courant qui le créé est vérifié :
  • pour tout circuit;
  • en tout point au voisinage du circuit;
  • en régime d'intensité continu ou variable i(t).
On a donc B = k.i où k est un facteur dépendant de la géométrie du circuit et de la position du point de mesure par rapport au circuit.
Exemple :   L'intensité B du champ magnétique dans une bobine longue (20cm, 400 spires) traversée par un courant I = 16 A est : B=μ0[N/(l)]I=4.π.10−7×[400/0,2]×16 ≈ 40,2 mT.

2.3.4  Autres circuits élémentaires

Il s'agit ici de donner la relation B = k.I pour les circuits dont le spectre a déjà été étudié.

Fil rectiligne

Les lignes de champ sont des cercles concentriques. En tout point M dont la distance par rapport au fil est r, l'intensité du champ magnétique est définit par la relation :
B(M)= μ0


I

r
.
Exemple :   Un conducteur électrique parcouru par un courant I = 500 A produit à 10 m autour de lui un champ magnétique
B(M)= μ0


I

r
= 4π10−7


500

10
≈ 10μT.

Bobine plate de N spires

Au centre O d'une bobine plate de N spires parcourue par un courant I, l'intensité B du champ magnétique est donné par la relation :
B(O)= μ0

2
N

R
I avec R le rayon de la bobine.
Exemple :   L'intensité du champ magnétique au centre d'une bobine plate (500 spires de rayon R = 4 cm) parcourue par un courant I = 8 A est :
B(O)= μ0

2
N

R
I = 4π10−7

2
500

0,04
×8 ≈ 62,8  mT.

Bobine torique

Si le diamètre des spires est petit devant le diamètre du tore alors la relation donnant B est la même que pour un solénoïde soit :
B=μ0 N

l
I avec l le périmètre moyen du tore.
Exemple :   On veut avoir un champ magnétique B = 1 tesla à l'intérieur d'une bobine torique de 1500 spires et de rayon moyen R = 2 cm. Calculons l'intensité I du courant qui devra traverser ce circuit :
I= Ml

μ0N
1×2π×0,02

4π10−7×1500
≈ 67 A.

2.4  Action d'un champ magnétique sur un élément de circuit parcouru par un courant

2.4.1  Objectifs

  • Montrer expérimentalement l'action d'un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant.
  • Prévoir la direction, le sens et le module de la force exercée sur le conducteur.
  • Décrire l'action d'un champ sur une spire circulaire ou rectangulaire.
  • Connaître quelques exemples de dispositifs utilisant l'action électromagnétique.

2.4.2  Étude expérimentale

Le dispositif représenté ci-dessous comporte les éléments suivants :
  1. Un aimant en U créant, entre ses pôles, un champ magnétique uniforme vertical dirigé vers le bas.
  2. Un générateur de courant constant I.
  3. Un conducteur mobile pouvant se déplacer librement, entre les pôles de l'aimant, dans une direction donnée et parcouru par le courant I.
Lors de la fermeture de l'interrupteur K, la tige se déplace de gauche à droite su les rails. Lors d'un autre essai, la tige se déplace dans l'autre sens dans les deux cas suivants :
  • Retournement de l'aimant (inversion du champ) sans changer le sens du courant.
  • Inversion du sens du courant sans retourner l'aimant.

2.4.3  Interprétation - Loi de Laplace

Le mouvement de la tige résulte d'une force électromagnétique F dont les caractéristiques sont les suivantes :
  1. Direction : perpendiculaire à B et au conducteur.
  2. Sens : donné par la règle de la main droite (schéma ci-dessous).
  3. Module : proportionnel à i (intensité du courant), à la longueur l de la tige, à l'intensité B du champ magnétique et au sinus de l'angle entre le conducteur et le champ.
On définit le vecteur il par :
  • sa direction : celle du conducteur;
  • son sens : celui du sens réel du courant;
  • son module : i.l.
Remarque 1 :   Il est important de choisir le sens de la flèche du courant (convention) dans le même sens que le courant réel pour avoir toujours i > 0.
Loi de Laplace :   Un conducteur de longueur l parcouru par un courant i et placé dans un champ magnétique B est soumis à une force électromagnétique F (force de Laplace) appliquée au milieu du conducteur dont les caractéristiques sont :
  1. Direction : perpendiculaire à Bet au conducteur.
  2. Sens : donné par la règle de la main droite.
  3. Module :
    F=||F|| = i.l.B.sin(

    il
     
    ,

    B
     
    )
    avec F en (N) ; i en (A) ; l en (m) et B en (T).
Remarque 2 :   Dans la pratique, B est souvent perpendiculaire au conducteur, on a donc :
F = i.l.B
Application :   Dans l'expérience on a i = 5 A ; l = 4 cm ; B = 0,3 T et B⊥l. Ce qui donne F = i.l.B = 5 ×0,04 ×0,3 = 0,06 N.

2.4.4  Action du champ magnétique sur une spire

Orientation d'une spire

Un circuit de forme quelconque peut être décomposé en un grand nombre de petits circuits rectilignes. Ainsi la loi de Laplace pourra s'appliquer à des circuits de forme quelconque. Notre étude se limitera à des circuits à géométrie simple (spires circulaires ou rectangulaires parcourues par un courant).
Il est nécessaire d'orienter ces spires (contours fermés) dans l'espace. On définit alors le vecteur S=S.n avec :
  • S : surface de la spire
  • n : vecteur normal à la surface (perpendiculaire au plan de la spire, de module n = 1 et de sens donné par la règle du tire bouchon en choisissant un sens positif " + " (sens du courant dans la spire " + ").

Spire rectangulaire dans un champ magnétique uniforme

Considérons une spire de forme rectangulaire, parcourue par un courant i et capable de tourner autour d'un axe vertical δ. Cette spire est placée dans un champ magnétique uniforme B. Chacun des côtés du cadre est soumis à une force de Laplace appliquée en son milieu. Ces forces ont les propriétés suivantes :
  1. F1 = −F3 et F2 = F4 ce qui implique que l'ensemble des forces n'imprime pas un mouvement de translation de cadre.
  2. F2 = F4 = iaB. Ces deux forces ne sont pas parallèles à l'axe δ, elles ont donc un effet de rotation du cadre autour de l'axe δ.
  3. F1 = F3 = ibB. Ces deux forces sont parallèles à l'axe δ, elles n'ont donc aucun effet sur la rotation du cadre autour de l'axe δ.
Le schéma ci-dessous illustre l'action des quatre forces sur le cadre rectangulaire :
L'action des forces électromagnétiques augmentera avec :
  1. les dimensions a et b du cadre (surface);
  2. les intensités i et B (courant + champ) ;
  3. la position angulaire α du cadre par rapport aux lignes de champ.
Remarque 1 :   L'action des forces électromagnétiques est maximale lorsque α = ±[(π)/2]. Cette remarque est valable pour toutes les machines tournantes (moteurs ou génératrices). Le schéma ci-dessous illustre la cas où α = [(π)/2].
Remarque :   Lorsque la spire est orientée suivant le courant i qui la traverse, le champ magnétique Bspire produit par la spire est dans le même sens que le vecteur S. On peut alors énoncé la propriété suivante : L'action électromagnétique est optimale lorsque le champ Bspire produit par le courant de la spire est perpendiculaire au champ extérieur B appelé aussi " champ inducteur ".

2.4.5  Applications de l'action électromagnétique

Le moteur à courant continu

Un moteur à courant continu est constitué des éléments suivants :
  • Le stator dans lequel un aimant permanent ou un électroaimant produit un champ magnétique uniforme et radial.
  • Le rotor constitué d'un cylindre autour duquel sont enroulées des spires parcourues par un courant.
  • Le collecteur (charbons frottant sur des pistes) réalisant le contact électrique du rotor en rotation, mais aussi, assurant l'orthogonalité entre le champ du rotor et le champ inducteur du stator.
Le schéma ci-dessous illustre le fonctionnement du moteur à courant continu :
Le principe de fonctionnement du moteur est le suivant :
  1. Le champ Brotor tend à s'aligner sur le champ Bstator ce qui provoque la rotation du rotor.
  2. Le collecteur fait en sorte que les deux champs soient toujours perpendiculaires. Ainsi les forces provoquant la rotation sont maximales.

Le haut-parleur électromagnétique

Le haut-parleur transforme l'énergie électrique en énergie acoustique (vibrations de pression de l'air). Il est constitué des éléments suivants :
  • Un aimant à symétrie cylindrique produisant dans son entrefer, un champ magnétique radial dirigé du centre (nord) vers l'extérieur (sud).
  • Une bobine mobile dans l'entrefer de l'aimant et parcourue par le courant de sortie d'un amplificateur audio par exemple.
  • Une membrane solidaire de la bobine qui va transmettre, au milieu extérieur, les vibrations de la bobine.
Le schéma ci-dessous illustre le fonctionnement du haut parleur :
Le principe de fonctionnement du haut-parleur est le suivant :
  1. Lorsqu'un courant i traverse la bobine, une force de Laplace F s'applique sur chaque portions des conducteurs. La force résultante, proportionnelle à i agit sur la bobine sous forme de vibrations (i est variable).
  2. La membrane subit les mêmes vibrations que la bobine, ce qui engendre des variations de la pression de l'air. La propagation du son est transmise par le cône solidaire de la membrane.

2.5  Induction électromagnétique

2.5.1  Objectifs

  • Découvrir expérimentalement le phénomène d'induction électromagnétique sur un circuit ouvert (force électromotrice).
  • Prévoir le signe du courant induit (circuit fermé) en utilisant la loi de Lenz.
  • Connaître quelques applications de l'induction électromagnétique.

2.5.2  Étude expérimentale

Champ magnétique variable dans une bobine

Un aimant pouvant être mis en rotation est placé devant une bobine fixe. Un oscilloscope est branché aux bornes de la bobine. Lors de la rotation de l'aimant, la bobine sera donc soumise à un champ magnétique variable.
  • Observations :
    1. Si l'aimant n'est pas en mouvement (champ magnétique fixe), aucune tension n'est détectée par l'oscilloscope.
    2. Lors de la rotation de l'aimant, une tension alternative est détectée avec les propriétés suivantes :
      • sa fréquence est égale à la fréquence de rotation de l'aimant (tour/seconde);
      • son amplitude augmente avec la fréquence de rotation de l'aimant.

Déplacement d'un circuit dans un champ magnétique fixe

Un aimant en U produit un champ magnétique uniforme entre ses deux pôles. Un conducteur mobile peut se déplacer dans une direction donnée sur deux rails conducteurs. L'ensemble "conducteur + rail" est placé entre les pôles de l'aimant et un oscilloscope est branché à l'extrémité des deux rails. On déplace manuellement le conducteur qui atteint la vitesse v. Cette expérience traduit donc le déplacement d'un circuit dans un champ magnétique fixe.
  • Observations :
    1. Lorsque le conducteur est déplacé avec la vitesse v, il apparaît une tension négative à l'écran de l'oscilloscope. La forme de la tension traduit l'accélération puis la décélération de la tige.
    2. Le signe de la tension apparaissant à l'oscilloscope change lorsque la vitesse est inversée.

2.5.3  Interprétation : Loi de l'induction

Définitions

La tension d'induction qui apparaît aux bornes d'un circuit est appelée force électromotrice ou fém. Le phénomène d'apparition de la fém se nomme induction électromagnétique :
  1. La source de champ magnétique est appelée inducteur.
  2. Le circuit où apparaît la fém est appelé induit.

Propriétés

Une force électromotrice ou fém apparaît aux bornes d'un circuit dans les cas suivants :
  1. Le circuit est soumis à un champ magnétique variable.
  2. Le circuit se déplace ou se déforme dans un champ magnétique fixe.

Expression de la fém pour un conducteur mobile

La fém induite e aux bornes d'un conducteur en mouvement dans un champ magnétique uniforme B est définie par la relation ci-dessous (valable que si v ⊥B et v ⊥ au conducteur) :
|e| = B.l.v
avec:
  • v = ||v|| vitesse du conducteur en (m/s)
  • l longueur du conducteur en (m)
  • B = ||B|| champ magnétique uniforme en (T)
  • e fém induite aux bornes du conducteur en (V)
Exemple :   Un conducteur de longueur l = 12 cm est soumis à un champ magnétique B = 0,5 T perpendiculaire; il se déplace latéralement et perpendiculairement à B à la vitesse v = 2 m/s. Il apparaît aux bornes du conducteur une fém e de valeur absolue :
|e| = B.l.v = 0,5×0,12×2 = 0,12 V.

Application aux machines électriques

  1. L'alternateur : L'alternateur convertit l'énergie mécanique en énergie électrique; il est constitué des éléments suivants :
    • Le rotor (inducteur) est constitué d'aimants ou de bobinages alimentés pour produire un champ magnétique.
    • Le stator (l'induit) constitué de bobinages dont la tension aux bornes apparaît lorsque le rotor est mis en rotation (turbines, éoliennes ...).
    L'alternateur est utilisé pour produire l'énergie électrique. On le trouve aussi dans les automobiles et sert à recharger la batterie.
  2. Le transformateur : Le transformateur est un convertisseur statique d'énergie électrique, il est principalement utilisé pour abaisser ou élever la tension présente sur le réseau de distribution d'énergie électrique. La figure ci-dessous montre la constitution interne d'un transformateur :
    Le principe de fonctionnement est le suivant :
    1. Une source de tension alternative u1 (réseau électrique EDF par exemple) est branchée au primaire et fait circuler un courant i1 qui va créer un champ magnétique dans la structure métallique (carcasse).
    2. La carcasse métallique va canaliser les lignes de champ vers la bobine secondaire.
    3. La bobine secondaire est donc le siège d'un champ magnétique variable et une tension u2 induite prendra naissance aux bornes de la bobine secondaire.
    4. Le courant i2 et le courant i1 seront imposés par la charge branchée au secondaire. ⇒ Le générateur impose les tensions et la charge impose les courants. Si on a N1 spires au primaire et N2 spires au secondaire, on a les relations suivantes :
      • pour les tensions :
        u2

        u1
        ≈ − N2

        N1
      • pour les courants :
        i1

        i2
        ≈ − N2

        N1
On peut retenir le principe suivant : Pour un transformateur idéal, le rapport des tensions est égal au rapport des nombres de spires.

2.5.4  Courants induits et loi de Lenz

Étude expérimentale

Un ampèremètre à aiguille est branché en série avec une bobine. Un aimant droit, placé devant la bobine sera mis en mouvement.
  • Observations :
    1. Lorsque l'aimant s'approche de la bobine, un courant prend naissance dans la bobine dont le sens est donné par la figure ci-dessus.
    2. Si on inverse un seul des paramètres suivants :
      • sens de l'aimant,
      • sens de déplacement,
      • sens d'enroulement de la bobine,
      alors le courant change de sens.

Interprétation

La variation du champ B à travers la bobine entraîne la circulation d'un courant induit qui s'oppose à la cause qui lui a donné naissance. Ce courant va donc créer un champ magnétique qui va s'opposer aux variations de B. Le déplacement de l'aimant produit une augmentation du champ B vers le fond de la figure, la bobine réagit en créant un courant qui donne un champ magnétique vers l'avant de la figure. La règle du tire-bouchon nous confirme le sens du courant induit.
Remarque :   Si le circuit est fermé, c'est la fém d'induction e qui est responsable du courant induit i. Si le circuit a une résistance R, on a alors e = R.i.

Loi de Lenz

Le courant induit, par ses effets, s'oppose à la cause qui lui a donné naissance. La loi de Lenz permet de trouver le sens du courant induit. Pour un circuit ouvert, la loi de Lenz permet aussi de trouver le sens de la fém e (le potentiel le plus fort sera sur la borne où sortira le courant induit : convention générateur).

Les courants de Foucault

  • Expérience : Une bobine est alimentée par un générateur de tension alternative. Un disque métallique est placé au dessus de la bobine.
    ⇒ On constate un échauffement du disque métallique.
  • Interprétation La bobine alimentée en alternatif produit un champ magnétique variable qui provoque des courants induits dans le disque métallique. Ces courants volumiques sont appelés " courants de Foucault ".
  • Applications
    1. Fours à induction : l'expérience ci-dessus décrit le fonctionnement du four à induction (le disque métallique est le fond du récipient contenant le liquide à chauffer).
    2. Freins de camions : dans l'expérience ci-dessus, si on fait tourner le disque métallique, on constate un freinage rapide de la rotation. Les courants de Foucault s'opposent à la cause de leur naissance, c'est à dire à la rotation (freins TELMA des camions et autobus).
    3. Moteur à induction ou moteur asynchrone : le stator d'un moteur asynchrone st constitué de bobines alimentées en alternatif. Le rotor est un cylindre métallique plein. Les courants de Foucault dans le rotor s'opposent à la variation du champ magnétique de stator et provoquent sa rotation. Ces moteurs alternatifs sont très utilisés.

2.6  Auto-induction

2.6.1  Objectifs

  • Découvrir expérimentalement le phénomène d'auto-induction pour une bobine.
  • Appréhender la notion d'inductance.
  • Connaître et savoir utiliser la relation courant-tension pour une bobine idéale mais aussi pour une bobine réelle.

2.6.2  Éude expérimentale

Établissement du courant dans une bobine

Cette expérience permet d'observer la différence de comportement entre une résistance et une bobine lors d'une apparition brutale de tension. Une lampe branchée en série avec chaque dipôle (la résistance et la bobine) permettra d'observer l'établissement du courant lors de la fermeture de l'interrupteur.
Observation :   À la fermeture de l'interrupteur K, la lampe L2 s'allume en retard par rapport à L1 qui elle s'allume instantanément.
Interprétation :   L'augmentation de l'intensité dans la bobine engendre une augmentation du champ magnétique. Il y a donc un phénomène d'induction et une fém e négative apparaît aux bornes de la bobine qui va s'opposer à la variation de courant (loi de Lenz). La bobine s'oppose donc à la variation du champ magnétique qu'elle crée elle-même; d'où le terme auto-induction.

Suppression du courant dans une bobine

Dans cette expérience, on va essayer de supprimer brutalement le courant dans la bobine. Dans l'état initial, l'interrupteur K est fermé et tout le courant passe dans la bobine (la diode D est bloquée et donc la lampe est éteinte). La résistance r permet de limiter le courant dans la bobine.
Observation :   A l'ouverture de l'interrupteur, on constate un bref éclairement de la lampe.
Interprétation :   La diminution de l'intensité dans la bobine engendre une diminution du champ magnétique. Il y a donc un phénomène d'induction et une fém e positive apparaît aux bornes de la bobine qui va s'opposer à cette variation de courant (loi de Lenz). La bobine, pendant un bref instant, va donc continuer à faire circuler le courant qui ne pourra que traverser la lampe et la diode. Ici aussi, la bobine s'oppose à la variation du champ magnétique qu'elle crée elle-même (auto-induction). Dans cette expérience, la bobine a joué le rôle de générateur durant l'éclairement de la lampe.

2.6.3  Relation courant-tension pour une bobine idéale

Expérience

Alimentons une bobine à noyau avec une tension en créneaux et visualisons la forme du courant à l'oscilloscope.
La résistance r est de faible valeur et permet de visualiser le courant (i = [(ur)/r]). La tension ur est négligeable devant la tension u aux bornes de la bobine. On peut donc considérer que u ≈ uGBF et que la voie Y1 représente bien la tension u.
Observations :  
  • Pour une tension constante et positive, le courant a une variation linéaire de coefficient directeur [(∆i)/(∆t)] positif.
  • Pour une tension constante et négative, le courant a une variation linéaire de coefficient directeur [(∆i)/(∆t)] < 0.
  • Si on augmente l'amplitude des créneaux, le coefficient [(∆i)/(∆t)] augmente dans les mêmes proportions.
Interprétations :  
  • La variation de courant i donne une variation du champ magnétique qui induit une tension u qui s'oppose à cette variation.
  • La tension u (fem d'auto-induction) est proportionnelle à la variation [(∆i)/(∆t)].
  • On a donc :
    u=k ∆i

    ∆t
    avec k constante d'auto-induction qui est propre à la bobine.
  • La convention récepteur donne u > 0 pour [(∆i)/(∆t)] > 0.

Inductance d'une bobine

L'inductance d'une bobine traduit sa capacité à produire du champ magnétique. Une bobine de forte inductance fera apparaître un fort phénomène d'auto-induction avec une tension élevée lors de variations de courant.
  1. Définition : L'inductance notée L d'une bobine est le rapport entre la tension u à ses bornes et la variation de courant [(∆i)/(∆t)] qui traverse cette bobine dans la convention récepteur.
    On a donc u=L [(∆i)/(∆t)] avec L en henry (H); i en ampère (A) et t en seconde (s).
  2. Inductance d'une bobine longue : Pour une bobine longue (solénoïde) ou une bobine torique, l'inductance peut s'exprimer simplement en fonction des paramètres géométriques :
    Si le noyau de la bobine est de l'air (ou du vide), alors :
    L=μ0 N2S

    l
    avec:
    • L en Henry (H);
    • S en mètres carrés (m2);
    • l en mètres (m);
    • μ0 = 4.π.10−7 H.m−1
    Exemple :   Une bobine de longueur l = 50 cm, de diamètre D petit devant l et comportant N = 500 spires de surface S = 10 cm2 a une inductance :
    L=4.π.10−7× 5002×10.10−4

    0,5
    ≈ 628  μH.
  3. Calcul de l'ondulation ∆i du courant : Prenons l'exemple d'une bobine L = 0,1 H soumise a une tension en créneau ±5 V et de fréquence f = 1 kHz. La durée ∆t durant laquelle la tension u est constante (par exemple +5V) représente la moitié de la période soit ∆t = 0,5 ms. On a u=L[(∆i)/(∆t)] ⇒ ∆i = [5/0,1]×0,5.10−3 = 25 mA. Le même calcul peut être mené avec u = −5V et on trouve ∆i = −25 mA (décroissant).

Analogie avec le condensateur

  • Pour un condensateur, le courant i provoque une variation∆u de tension :
    i=C ∆u

    ∆t
    .
  • Pour une bobine idéale, la tension u provoque une variation∆i de courant :
    u=L ∆i

    ∆t
    .
  • Pour un condensateur, il ne peut y avoir de variation brusque de tension (sinon courant très élevé)
  • Pour une bobine, il ne peut y avoir de variation brusque du courant (sinon tension très élevée et destruction des composants voisins).

2.6.4  Relation courant-tension pour une bobine réelle

Bobine réelle

Le modèle d'une bobine réelle tient compte de son inductance et de la résistance de ses enroulements (schéma ci-dessous) :

Relation courant-tension

La tension u aux bornes de la bobine est la somme de la tension uR (résistance) et de la tension uL (inductance pure).
u=Ri+L ∆i

∆t
Remarque :   En régime continu ([(∆i)/(∆t)] = 0), la bobine est équivalente à la résistance R et on a u = Ri.

Utilisation du modèle de la bobine réelle

Pour réaliser une bobine de forte inductance, il faut utiliser une grande longueur de fil de cuivre qui va représenter une résistance non négligeable. Examinons deux cas et nous verrons dans quelles conditions il faut tenir compte de la résistance de la bobine :
  1. Alimentons une bobine (1H ; 470 Ω) avec un courant triangulaire −1/+1 mA de fréquence 500 Hz.
  2. Alimentons la même bobine avec un courant triangulaire −1/+1 mA de fréquence 2 kHz.
Montage :  
Chronogrammes :  
Interprétation :  
  1. Avec f = 500 Hz, la tension uL est de forme carrée +2 / −2V (uL=1×[(2.10−3)/(1.10−3)]=2 V)
    La tension uR est triangulaire +0,47 / −0,47 V (uR = 470 ×1.10−3 = 0,47 V).
    La tension u est la somme de uR et de uL ce qui donne un signal carré "déformé" avec un niveau haut qui débute à 1,53 V et termine à 2,47 V (2−0,47 et 2+0,47).
    ⇒ En basse fréquence, uR n'est pas négligeable devant uL. Il faut donc tenir compte de la résistance R de la bobine.
  2. Avec f = 2 kHz, la tension uL est de forme carrée +8 / −8 V (uL=1×[(2.10−3)/(0,25.10−3)]=8 V)
    La tension uR est toujours triangulaire +0,47 / -0,47V (uR = 470 ' 1.10-3 = 0,47V).
    La tension u est la somme de uR et de uL ce qui donne un signal carré "peu déformé" avec un niveau haut qui débute à 7,53 V et termine à 8,47 V (8−0,47 et 8+0,47).
    ⇒ En haute fréquence, uR est négligeable devant uL. On peut donc négliger le rôle de la résistance R de la bobine.

2.6.5  Énergie emmagasinée dans une bobine

Étude expérimentale

Dans l'expérience ci-dessous, la bobine B est alimentée par la source de tension E. Le moteur à courant continu MCC est branché aux bornes de la bobine et peut soulever une masse m par l'intermédiaire d'une poulie.
Observations :   Lors de l'ouverture de l'interrupteur K, la masse m est soulevée par le moteur. Interprétation : Lorsque K est fermé, tout le courant fournit par l'alimentation traverse la bobine. La bobine se "charge" en courant et accumule donc de l'énergie. Lors de l'ouverture de K, le courant dans la bobine ne peut s'annuler brusquement et traverse donc le moteur. La bobine a transféré de l'énergie vers le moteur (soulèvement de la masse m).

Expression de l'énergie emmagasinée

Une bobine d'inductance L, traversée par un courant i stocke de l'énergie électromagnétique W définie par :
W= 1

2
Li2
avec :
  • W en joule J
  • L en henry H
  • i en ampère A

Exemple de calcul de W

Une bobine L = 0,5 H parcourue par un courant i = 10 A a stocké l'énergie W=[1/2]×0,5 ×102 = 25 J.
C'est l'énergie qu'il faut pour soulever une masse m = 100g d'une hauteur de 25m ⇒ W = m.g.h = 0,1 ×10 ×25 = 25 J.

2.6.6  Exemples d'utilisation des bobines

Filtrage audio

Les sons de basses fréquences (graves) sont caractérisés par des variations lentes du signal alors que les sons de hautes fréquences (aigus) proviennent de variations rapides du signal. Avant de brancher un haut-parleur "basses fréquences", il faut atténuer les aigus en utilisant le montage ci-dessous :
La bobine s'oppose aux variations rapides du courant et ne va laisser "passer" que les variations lentes (basses fréquences). Le condensateur s'oppose aux variations rapides de tension et va jouer le même rôle que la bobine en étant branché en parallèle sur le haut-parleur.

Lissage de courant

En sortie d'un montage redresseur, si l'on souhaite avoir un courant le plus constant possible, il faudra ajouter une bobine en série avec la charge.
Remarques :   Les diodes de redressements jouent aussi le rôle de "roue libre" et permettent le passage du courant lorsque la bobine restitue l'énergie. Plus la valeur de l'inductance est grande, plus le courant est "lissé".

Chapitre 3
Régimes variables

3.1  Les grandeurs périodiques : généralités

3.1.1  Objectifs

  • Connaître les caractéristiques essentielles des grandeurs périodiques.
  • Saisir le sens physique de la valeur moyenne et de la valeur efficace d'une tension ou d'un courant.
  • Savoir calculer, pour des formes de signaux simples, les valeurs moyenne et efficace.
  • Savoir mesurer les valeurs moyenne et efficace pour une tension ou un courant.

3.1.2  Les grandeurs variables

Introduction

La plupart des grandeurs physiques sont variables au cours du temps. Donnons quelques exemples :
  • la pression atmosphérique (P en mbar) mesurée sur plusieurs jours,
  • l'éclairement (E en lux) dû au soleil sur une journée,
  • la tension électrique fournie par EDF en quelques millisecondes,
  • les champs électrique et magnétique produits par un four "micro-ondes" mesuré en quelques nanosecondes.

Représentation

Les grandeurs variables dépendent du temps, on les notera en lettres minuscules. Par exemple on notera que le courant i = 20 mA à l'instant t = 80 μs; il s'agit de la valeur instantanée du courant (à un instant précis). La grandeur variable sera représentée sur l'ordonnée d'un graphique dont l'abscisse est le temps. Le graphique ci-dessous représente une tension dont les variations ont été enregistrées durant 10 ms :
Les unités, les échelles et les graduations doivent être précisées pour pouvoir exploiter l'enregistrement.

3.1.3  Les grandeurs périodiques

La période

Beaucoup de grandeurs ont des variations qui se reproduisent identiquement entre deux instants consécutifs.
Définition :   On définira la période, en secondes, d'une grandeur périodique s(t) comme la plus petite durée T vérifiant la relation :
s(t + T) = s(t).
Remarque :   L'étude d'un signal périodique pourra donc se faire sur une seule période.

La fréquence

Définition :   La fréquence F, exprimée en Hertz (Hz), d'une grandeur périodique est le nombre de périodes contenues dans une durée égale à une seconde. En une seconde, on aura F périodes de durée T donc F.T = 1s ce qui donne :
F

T
= 1
avec F en Hertz (Hz) et T en secondes (s). Les multiples pour l'unité de fréquence sont :
  • Le kilohertz : 1 kHz = 103 Hz (T=1ms).
  • Le mégahertz : 1 MHz = 106 Hz (T=1 μs).
  • Le gigahertz : 1 GHz = 109 Hz (T=1ns)
  • Le térahertz : 1 THz = 1012 Hz (T=1ps)
On peut citer quelques fréquences utilisées en électricité et électronique :
  • Réseau EDF : f = 50 Hz (T = 0,02 s ou 20 ms).
  • France Inter en grandes ondes : f = 162 kHz.
  • Bande radio FM : de 88 MHz à 108 MHz.
  • Téléphone cellulaire : 900 MHz et 1,8 GHz.

Les valeurs maximale et minimale

Prenons un exemple, l'oscillogramme bicourbe de la tension u1 (Y1) et de la tension u2 (Y2) représenté ci-dessous :

  • U1min = −1 div ×2 V/div = −2 V.

  • U1max = 3 div ×2 V/div = 6 V.

  • U2min = −1 div ×50 mV/div = −50 mV.

  • U2max = 1 div ×50 mV/div = 50 mV.

La valeur moyenne

Prenons le graphique ci-dessous (variation d'une grandeur x) et essayons d'ajuster une droite horizontale (tension continue) qui représenterait la moyenne Xmoy des valeurs prises par la grandeur variable x(t).
On peut définir deux surfaces :
  • La surface A+ entre la courbe x(t) et la droite Xmoy (partie supérieure à la droite);
  • La surface A− entre la courbe x(t) et la droite Xmoy (partie inférieure à la droite). La droite Xmoy a pour ordonnée la valeur moyenne des valeurs de x(t) ce qui implique que les surfaces A+ et A− sont égales.
À l'aide du schéma ci-dessous, définissons la surface A entre la courbe x(t) et l'axe des abscisses.
Le fait que A+ = A− implique que la surface A est aussi égale à la surface du rectangle de largeur T et de hauteur Xmoy. On a donc
A = Xmoy.T ⇒ Xmoy = A

T
.
Définition :   La valeur moyenne d'une grandeur périodique x(t) de période T est la tension constante Xmoy définie par la relation : Xmoy = [(A)/T] avec A surface entre la courbe x(t) et l'axe des abscisses.
Méthode de calcul :  
  1. Calcul de la surface A en faisant la somme algébrique de toutes les surfaces pour une période T (si la courbe est en dessous de l'axe, la surface sera négative).
  2. Finir par le calcul Xmoy = [(A)/T].
Exemple de calcul pour une tension :   Calculons la valeur moyenne de la tension u(t) représentée sur l'oscillogramme ci-dessous :

A=A1+A2 = (3×2) ×(2×1.10−3) + (−1×2) ×(3×1.10−3) = 12.10−3 − 6.10−3 = 6.10−3 V.s

< v1 > = A

T
= 6.10−3

5×1.10−3
= 1,2 V.
Remarques :  
  1. Une grandeur ayant une valeur moyenne nulle est appelée grandeur alternative.
  2. La valeur moyenne est aussi appelée "composante continue".
  3. La valeur moyenne d'une grandeur x se note aussi < x > .

La valeur efficace

Expérience :   Alimentons une ampoule d'éclairage supposée "résistive" avec la tension u sinusoïdale alternative du secteur "230V".
Nous constatons que l'ampoule brille; elle reçoit donc de l'énergie bien que Umoy = 0 V. Alimentons cette même ampoule avec une tension continue U que l'on règlera jusqu'à avoir le même éclairement qu'avec la tension du secteur. On remarque alors que la tension continue a été réglée à U = 230V.
On va donc définir une grandeur appelée "valeur efficace" qui sera utile pour caractériser les notions de puissances et énergies.
Définition :   La valeur efficace d'une tension périodique u est la tension constante U qui fournirait la même puissance à une résistance. Cette définition est aussi valable pour un courant i.
Relation donnant la valeur efficace du courant I en fonction de i (valeur instantanée) :  
  • La puissance instantanée p absorbée par une résistance R est : p = R.i2.
  • La puissance moyenne absorbée est P = < R.i2 > = R < i2 > car R est constant.
  • La puissance moyenne absorbée est aussi P = R.I2 car I est la valeur efficace de i (même ëfficacité" que le courant constant I)
On a donc :
R.I2 = R < i2 > ⇒ I2 = < i2 > ⇒ I =

 

< i2 >
 
.
Relation générale :   La valeur efficace X d'une grandeur périodique x est définie par la relation :
X =

 

< x2 >
 
.
Cette valeur efficace "vraie" est dénommée RMS (Root Mean Square) soit Racine carrée de la Moyenne du Carré.
Méthode de calcul :  
  1. On élève la grandeur au carré → x2
  2. On calcule la valeur moyenne de ce "carré". → < x2 >
  3. On fait la racine carré de la moyenne du "carré" → √{ < x2 > }.
Exemple :   Calculons la valeur efficace du courant i représenté ci-dessous :
Valeur moyenne de i2 :  
< i2 > = 0,62×150.10−6+(−0,2)2×100.10−6

250.10−6
=0,232 A2.
Valeur efficace :  
I =

 

< i2 >
 
=

 

0,232
 
≈ 482 mA.

3.1.4  Mesure des valeurs moyenne et efficace

Mesure de la valeur moyenne

  • La valeur moyenne d'une tension se mesure avec un voltmètre en position "DC".
  • La valeur moyenne d'un courant se mesure avec un ampèremètre en position "DC".
  • La valeur moyenne de la puissance se mesure avec un wattmètre (certains wattmètres à affichage graphique affichent la puissance instantanée sous forme de courbes)

Mesure de la valeur efficace

  • La valeur efficace d'une tension se mesure avec un voltmètre "RMS" en position "DC".
  • La valeur efficace d'un courant se mesure avec un ampèremètre "RMS" en position "DC".
Remarque :   Les multimètres "bas de gamme" mesurent les valeurs efficaces que pour des signaux sinusoïdaux (tension et courant du secteur ou en sortie de transformateur).

3.1.5  Composante continue et composante variable

En électronique, on rencontre souvent des signaux ayant une valeur moyenne non nulle (composante continue) et une composante variable autour de la valeur moyenne.
Si on note Umoy la valeur moyenne (composante continue); Uond la valeur efficace de la composante variable (sans la composante continue) et Ueff la valeur efficace du signal complet alors on a la relation :
Ueff2=Umoy2+Uond2.
Du point de vue des appareils de mesures, la relation peut s'écrire aussi :
UAC+DC2=UAC2+UDC2.
Remarque :   Certains multimètres "RMS" peuvent mesurer la valeur efficace Uond (composante variable) en sélectionnant le calibre ÄC". Pour mesurer la valeur Ueff du signal complet on sélectionne ÄC+DC".

3.2  Régime sinusoïdal - Généralités

3.2.1  Objectifs

  • Montrer l'importance du régime sinusoïdal en électronique et dans d'autres domaines.
  • Définir les grandeurs relatives à un signal sinusoïdal.
  • Savoir représenter une grandeur sinusoïdale par un vecteur de Fresnel ou un nombre complexe.

3.2.2  Pourquoi étudier le régime sinusoïdal ?

Dans beaucoup de domaines physiques, la représentation dans le temps d'une grandeur donne une courbe sinusoïdale. Des grandeurs sinusoïdales sont rencontrées, par exemple, dans les domaines suivants :
  1. Electrotechnique : La tension du secteur " EDF " est une sinusoïde de fréquence 50 Hz et de valeur efficace 230V.
  2. Radiodiffusion : Le signal porteur de la station FM " RTL2 " est une sinusoïde de fréquence 94,6 MHz.
  3. Acoustique : La note " La " fournie par un diapason est une sinusoïde de fréquence 440 Hz.
  4. Mécanique : La course d'un piston dans son cylindre présente une variation quasisinusoïdale.
  5. Electronique : La tension aux bornes d'un "quartz" qui cadence le microprocesseur d'un ordinateur est sinusoïdale de fréquence supérieure au GHz. La mise au point d'un filtre passe par une étude harmonique (régime sinusoïdal).
Remarque :   Lorsque le signal n'est pas sinusoïdal, on montrera qu'il peut se décomposer en une somme de plusieurs sinusoïdes appelées harmoniques. L'étude du régime sinusoïdal est donc incontournable dans beaucoup de domaines et en particulier en électronique.

3.2.3  Grandeurs relatives au régime sinusoïdal

Expression temporelle

Une grandeur sinusoïdale s(t) est représenté par l'expression :
s(t) = Smax sin(ωt + θ)
  • Smax est l'amplitude (le signal varie de +Smax à -Smax)
  • t est la variable représentant le temps en seconde
  • ω est la pulsion en rad.s−1
  • θ est la phase à l'origine en radian (compatible avec ωt en radian).
  1. Amplitude : L'amplitude Smax est la valeur maximale du signal qui va donc varier de +Smax à −Smax.
  2. Pulsation : La pulsation représente l'angle ω parcouru par la sinusoïde durant une seconde. La fréquence f représente le nombre de périodes effectuées durant une seconde. Sachant qu'une période T représente un angle de 2π rad, les relations entre Ω, f et T sont :
    ω = 2πf=

    T
    • ω en rad.s−1
    • f en Hz
    • T en s.
  3. Phase à l'origine : La phase à l'origine (du temps) représente le décalage angulaire qu'il faut effectuer pour que la sinusoïde soit du type " sinωt". Une sinusoïde qui "passe par zéro" dans le sens croissant, possède une phase à l'origine nulle (θ = 0).
Remarque :   L'origine des temps est choisit arbitrairement. Ce qui est important c'est la phase entre deux signaux; on prendra donc θ = 0 pour le signal de référence et on parlera de différence de phase entre les deux signaux.

Valeur moyenne

Dans la majorité des cas, les grandeurs sinusoïdales seront alternatives, c'est-à-dire à valeur moyenne nulle. L'expression s(t) = Smax sin(ωt + θ) utilisée pour un signal sinusoïdal implique que la valeur moyenne notée < > soit nulle.
Dans tous les chapitres sur le régime sinusoïdal, on prend < signal > = 0.

Valeur efficace

La valeur efficace est la " racine carrée de la valeur moyenne du carré". Essayons d'exprimer la valeur efficace de s(t) = Smax sin(ωt + θ) :
  1. Exprimons s2 (t) :
    s2(t) = S2max sin2(ωt + θ)⇒ s2(t) = S2max( 1−cos[2(ωt+θ)]

    2
    )⇒ S2max

    2
    cos[2(ωt+θ)]

    2
    .
  2. Exprimons < s2 (t) >  :
    < s2 (t) > = < S2max

    2
    > − < cos[2(ωt+θ)]

    2
    > ⇒ < s2 (t) > = < S2max

    2
    >
    car
    < cos[2(ωt+θ)]

    2
    > =0
  3. Exprimons Seff noté S :
    Seff=   ⎛


    S2max

    2
     
    = Smax

    √2
    .

    Seff=S= Smax

    √2
    .
Remarque :  
  • La valeur efficace d'un signal sinusoïdal alternatif ne dépend pas de sa fréquence ni de sa phase.
  • Dans la suite du cours, l'expression temporelle du signal sera :
    s(t) = S√2 sin(ωt + θ)
    car Smax = S√2
Application :   La valeur efficace de la tension du ßecteur" est de 230V ce qui donne une sinusoïde d'amplitude 230 ×√2 ≈ 325 V.

3.2.4  Représentation d'une grandeur sinusoïdale

Somme de deux grandeurs sinusoïdales

Dans le circuit représenté ci-dessous on a :
u(t) = u1(t) + u2(t)
car la loi des mailles et la loi des noeuds vues en régime continu s'applique aux valeurs instantanées.
Effectuons la somme u1(t) + u2(t) des tensions en ajoutant point par point les deux sinusoïdes relatives à u1(t) et u2(t). On a
u1(t) = 3 √2 sin(100πt) et u2(t) = 2 √2 sin(100πt −

3
).
On mesure sur le graphe :
Umax ≈ 3,74 V⇒ U ≈ 2,65 V.

θu ≈ −40,9°.

ω ≈ 100 π rad.
Remarque :  
  1. U1 + U2 = 3 + 2 = 5 V ce qui est différent de U = 2,65 V donc U ≠ U1 + U2.
  2. θ1 + θ2 = 0 − 120 = −120° ce qui est différent de θ = −40,9° donc θ ≠ θ1 + θ2.
  3. La pulsation de u(t) est égale à la pulsation de u1(t) et de u2(t).
Bilan :  
  1. On ne doit pas ajouter les valeurs efficaces !
  2. On ne doit pas ajouter les phases à l'origine !
  3. La somme de deux sinusoïdes de fréquence identique donne une autre sinusoïde à la même fréquence.
  4. L'évaluation de la somme de grandeurs sinusoïdales par addition des courbes point par point est une méthode longue et imprécise. Nous allons utiliser d'autres outils pour simplifier l'étude du régime sinusoïdal.

Vecteur de Fresnel

Pour un circuit linéaire, les deux grandeurs variables en régime sinusoïdal sont la valeur efficace et la phase à l'origine. Nous allons voir qu'il est possible de représenter ces deux grandeurs à l'aide d'un vecteur et d'un axe Ox comme repère de référence.
Définition :   Le vecteur U associé au signal sinusoïdal u(t) est appelé vecteur de Fresnel et a les propriétés suivantes :
  1. Son origine est le point 0.
  2. L'angle orienté (Ox,U) qu'il fait avec l'axe de référence Ox est égal à la phase à l'origine θU de u(t)
  3. Sa longueur (norme) représente la valeur efficace U de u(t).
Exemple :   Soit la tension u(t) = 12√2 sin(100πt + [(π)/3]), le vecteur de Fresnel U associé est représenté ci-dessous :
Somme de deux grandeurs sinusoïdales :   Reprenons l'exemple traité avec la méthode d'addition point par point avec :
u1(t) = 3 √2 sin(100πt), u2(t) = 2 √2 sin(100πt −

3
) et u(t) = u1(t) + u2(t).
On rappelle qu'il faut prévoir la valeur efficace U et la phase à l'origine θu de u(t). Traçons les vecteurs U1 et U2 relatifs à u1(t) et u2(t) puis effectuons graphiquement la somme U = U1 + U2 (shéma ci-dessous avec 1cm → 1V pour échelle) :
Ensuite on mesure :
  1. Longueur U ≈ 2,65 cm soit U ≈ 2,65 V.
  2. Angle θu ≈ −41° soit θU ≈ −0,714 rad.
Remarque :   La méthode des vecteurs de Fresnel est plus rapide que la méthode d'addition point par point de u1(t) et u2(t).
Si on désire une méthode non graphique, il faudra utiliser la représentation par des nombres complexes.

Nombres complexes

Un nombre complexe peut avoir une représentation vectorielle dans laquelle la longueur et l'angle représentent respectivement le module et l'argument du nombre complexe représenté.
Rappel de Mathématiques   Le nombre complexe z = a + jb est composé d'une partie réelle a et d'une partie imaginaire b. La représentation vectorielle OM du nombre complexe permet de d'illustrer ses propriétés :
  • Représentation cartésienne : z = a + jb
  • Représentation géométrique : z = (Z, θ) Avec module → Z = √{a2 + b2} et argument → θ = tan−1 [b/a] si a > 0.
Définition :   Le nombre complexe U = (U, θU) associé au signal sinusoïdal u(t) a les propriétés suivantes :
  1. Son module U représente la valeur efficace de u(t).
  2. Son argument θU représente la phase à l'origine de u(t).
Exemple :   Prenons par exemple le courant sinusoïdal i(t) = 5 √2 sin(ωt − 3[(π)/4]) (A). Le nombre complexe I associé à i(t) est :
  1. I = [ 5, 3π/4 ] (A) (représentation polaire).
  2. I = 5cos(−3π/4) + 5sin(−3π/4)j I ≈ −3,54 − j3,54 (A) (représentation cartésienne).
Somme de deux grandeurs sinusoïdales   Reprenons l'exemple traité avec la méthode d'addition point par point et les vecteurs de Fresnel avec :
u1(t) = 3 √2 sin(100πt), u2(t) = 2 √2 sin(100πt −

3
) et u(t) = u1(t) + u2(t).
On rappelle qu'il faut prévoir la valeur efficace U et la phase à l'origine θu de u(t).
Pour additionner ou soustraire des nombres complexes, il est préférable d'utiliser la forme cartésienne :
  1. U1 = [ 3, 0 ] = 3cos(0) + j3sin(0) ⇒ U1 = 3 (V).
  2. U2 = [ 2, −2π/3 ] = 2cos(−2π/3) + j2sin(−2π/3)⇒ U2 ≈ −1 −j1,732 (V).
  3. U = U1 + U2 ≈ 2 − j1,732 (V)⇒ U = [U, θU ] avec U = 22 + 1,7322 ≈ 2,65 V et θU=tan−1[(−1,732)/2] ≈ −41°.

3.2.5  Déphasage du courant par rapport à la tension

Étude d'un exemple

Considérons le dipôle linéaire représenté ci-dessous dans lequel on a :

u(t) = U√2 sin(ωt + θu) avec θu = π

2
.
et
i(t) = I√2 sin(Ωt + θi) avec θi= π

6
.
La figure ci-dessous représente le chronogramme et la représentation de Fresnel associée :
Si on s'intéresse au retard de i par rapport à u, on peut définir la grandeur ϕ = θu−θi. Dans notre exemple, on a ϕ = θu−θi = π/2 − π/6 = π/3. ⇒ On dira que le courant est en retard de π/3 par rapport à la tension.

Définition

On appelle déphasage ϕ de la tension u par rapport au courant i, la différence entre la phase à l'origine θu de u et la phase à l'origine θi de i.
ϕ = θu−θi.
Remarque :   ϕ > 0 ⇒ i est en "retard" par rapport à u.

Cas particuliers

  1. ϕ = 0 rad ⇒ u et i sont en phase
  2. ϕ = π rad ⇒ u et i sont en opposition de phase
  3. ϕ = [(π)/2]  rad ⇒ i est en quadrature retard par rapport à u
  4. ϕ = −[(π)/2]  rad ⇒ i est en quadrature avance par rapport à u

Méthodes de mesure de déphasage à l'oscilloscope (de la moins précise à la plus précise)

  1. Affichage d'une période sans décalibrer la base de temps : Il suffit d'afficher une période du signal et d'effectuer les opérations suivantes
    • compter le nombre de divisions que contient la période : Tdiv ;
    • compter le nombre de divisions qui représente le décalage : ϕdiv.
      ⇒ Le résultat en degrés est
      ϕ = ϕdiv

      Tdiv
      ×360 (degrés) .

      ⇒Le résultat en radians est
      ϕ = ϕdiv

      Tdiv
      ×2π (radians) .
    Exemple :  

    ϕ = 1,3

    7,8
    ×360 = 62,4°
    ou
    ϕ = 1,3

    7,8
    ×2π ≈ 1,09 rad.
  2. Affichage d'une demi-période sur neuf divisions en décalibrant la base de temps :
    • Agir sur le bouton de décalibrage de la base temps pour faire coïncider une demipéride sur 9 divisions (une division représente alors 180/9 = 20°)
    • compter le nombre de divisions qui représente le décalage : ϕdiv.
      ⇒ Le résultat en degrés est ϕ = ϕdiv ×20 (degrés).
    Exemple :  

    ϕ = 2,8 ×20 = 56°
  3. Etirement maximum pour la mesure du décalage (la période du signal doit être connue à l'avance)
    • Régler la base de temps pour que la portion des signaux représentant le décalage soit maximale sur l'écran (la base de temps ne doit pas être décalibrée).
    • Mesurer le temps τ de décalage des deux signaux.
      ⇒ Le résultat en degrés est ϕ = [(τ)/T]×360 (degrés).
      ⇒ Le résultat en radians est ϕ = [(τ)/T]×2π (radians).
    Exemple :   Mesure du déphasage pour des signaux de fréquence 5 kHz (T = 1/5000 = 200 μs)
    Calibre base de temps : 2 μs/div
    τ = −7,5 ×2.10−6 = −15 μs

    ϕ = τ

    T
    ×360 = −15.10−6

    200.10−6
    ×360 ⇒ ϕ = 27°.

    ϕ = τ

    T
    ×2π = −15.10−6

    200.10−6
    ×2π⇒ ϕ = − 0,471 rad.

3.3  Régime sinusoïdal - dipôles élémentaires

3.3.1  Objectifs

  • Il s'agit d'étudier la relation courant-tension dans les dipôles linéaires élémentaires (résistances, inductances et condensateurs).
  • La relation courant-tension étudiée sera de deux types :
    • Rapport des valeurs efficaces U / I = Z.
    • Déphasage ϕ de i par rapport à u.
  • On étudiera aussi l'influence de la fréquence sur les deux paramètres Z et ϕ.

3.3.2  Généralités

Si un dipôle linéaire est soumis à une tension sinusoïdale u(t) = U√2 sin(ωt); il sera alors traversé par un courant sinusoïdal i(t) = I√2 sin(Ωt − ϕ).

Impédance et admittance

  • On appelle Impédance du dipôle la grandeur Z = U / I (en Ω).
  • On appelle Admittance du dipôle la grandeur Y = I / U (en S ou Ω−1).

Déphasage

On appelle déphasage de i par rapport à u l'angle ϕ représentant le retard angulaire de i par rapport à u (en degrés ou radians).

Représentation de Fresnel

On représente u par un vecteur de module U et faisant un angle θu avec l'axe Ox (θu = 0 dans notre exemple).
On représente i par un vecteur de module I et faisant un angle θi avec l'axe Ox (θi = −ϕ dans notre exemple).

Notation complexe

  • On représente u par le nombre complexe U = [ U ; θu ].
  • On représente i par le nombre complexe I = [ I ; θi ].
  • On représente l'impédance par le nombre complexe Z = [ U/I ; θu − θi ] = [ U/I ; ϕ].
  • On représente l'admittance par le nombre complexe Y = [ I/U ; θi − θu ] = [ I/U ; −ϕ].

3.3.3  Résistance linéaire

Expérience

Alimentons une résistance linéaire R avec une source de tension sinusoïdale d'amplitude et de fréquence réglable. Nous constatons les résultats suivants :
  1. Variation de l'amplitude : Le rapport des valeurs efficaces UR / IR est constant et égal à R. Le déphasage ϕ est constant et égal à zéro.
  2. Variation de la fréquence : Le rapport des valeurs efficaces UR / IR est constant et égal à R. Le déphasage ϕ est constant et égal à zéro. ⇒ La fréquence n'agit pas sur le comportement de la résistance.

Interprétation

La résistance est soumise à la tension uR(t) = UR √2 sin(ωt). La relation courant-tension pour une résistance est uR(t) = RiR(t). On a iR(t) = IR √2 sin(ωt − ϕ) avec iR=[(uR(t))/R]=[(UR)/R]√2 sin(ωt).
Par identification, on a donc IR=[(UR)/R] et ϕ = 0.

Représentation de Fresnel et notation complexe

  1. Représentation de Fresnel : uR et iR son en phase, il est donc judicieux de les placer sur l'axe Ox en prenant arbitrairement θu</sub> = 0).
  2. Notation complexe :
    • On a UR = ZR IR avec ZR = R + j0 ou ZR = [R;0].
    • On a aussi IR=YRUR avec YR=[1/R]+j0 ou [[1/R];0].

3.3.4  Bobine parfaite

Expérience

Alimentons une bobine parfaite d'inductance L avec une source de tension sinusoïdale d'amplitude et de fréquence réglable.
Nous constatons les résultats suivants :
  1. Variation de l'amplitude : Le rapport des valeurs efficaces UL / IL est constant et égal à Lω. Le déphasage ϕ est constant et égal à +π/2.
  2. Variation de la fréquence :
    • Le rapport des valeurs efficaces UL / IL est proportionnel à ω (UL / IL = Lω).
    • Le déphasage ϕ est constant et égal à +π/2.
      ⇒ La fréquence n'agit pas sur le déphasage ϕ mais seulement sur l'impédance.
      ⇒ Plus la fréquence est élevée, plus l'impédance ZL est grande.

Interprétation

La bobine (inductance) est soumise au courant iL(t) = IL √2 sin(ωt).
La relation courant-tension pour une inductance est : uL=L[(dIL(t))/dt].
Ce qui donne uL(t) = LωIL √2 cos(ωt) ⇒ uL(t) = LΩIL √2 sin(ωt + π/2) Par identification, on a donc UL = LωIL et ϕ = π/2.

Représentation de Fresnel et notation complexe

  1. Représentation de Fresnel : iL est en quadrature retard sur uL, on peut, par exemple, placer UL sur l'axe Ox en prenant arbitrairement θu = 0).
  2. Notation complexe : On a UL = ZL IL avec ZL = [Lω;+π/2] ou ZL = jLω.
    On a aussi IL = YL UL avec YL=[[1/(Lω)] ; −π/ 2] ou YL=−j[1/(jω)].

3.3.5  Condensateur parfait

Expérience

Alimentons un condensateur parfait de capacité C avec une source de tension sinusoïdale d'amplitude et de fréquence réglable. Nous constatons les résultats suivants :
  1. Variation de l'amplitude : Le rapport des valeurs efficaces UC / IC est constant et égal à [1/(Cω)]. Le déphasage ϕ est constant et égal à −π/2.
  2. Variation de la fréquence : Le rapport des valeurs efficaces UC / IC est inversement proportionnel à ω (UC / IC = 1/(Cω)). Le déphasage ϕ est constant et égal à −π/2.
    ⇒ La fréquence n'agit pas sur le déphasage ϕ mais seulement sur l'impédance.
    ⇒ Plus la fréquence est élevée, plus l'impédance ZC est faible.

Interprétation

Le condensateur est soumis à la tension uC(t) = UC √2 sin(ωt).
La relation courant-tension pour une résistance est iC(t) = C [(duC(t))/dt].
Ce qui donne
iC(t) = CωUC √2 cos(ωt) ⇒ iC(t) = CωUC √2 sin(ωt + π/2).
Par identification, on a donc UC=[1/(Cω)]IC et ϕ = −π/2.

Représentation de Fresnel et notation complexe

  1. Représentation de Fresnel : iC est en quadrature avance sur uC, on peut, par exemple, placer IC sur l'axe Ox en prenant arbitrairement θi = 0).
  2. Notation complexe :
    On a UC = ZC IC avec ZC=[[1/(Cω)] ;−π/2] ou ZC=[(−j)/(Cω)]=[1/(jCω)]
    On a aussi IC = YCUC avec YC = [Cω;+ π/2] ou YC = jCω.

3.3.6  Tableau récapitulatif

3.4  Régime sinusoïdal association de dipôles

3.4.1  Objectifs

  • Il s'agit d'étudier la relation courant-tension (impédance Z = [ Z ; ϕ]) dans des associations de dipôles linéaires élémentaires (résistances, inductances et condensateurs).
    • Association série ("RL série", "RC série" et "RLC série").
    • Association parallèle ("RL parallèle", "RC parallèle" et "RLC parallèle").
  • Dans le cas d'une association "RLC", la phénomène de résonance sera mis en évidence et interprété.

3.4.2  Généralités

Montage pour les associations ßérie"

  1. Mesure des valeurs efficaces U et I
    Un voltmètre ÄC" branché aux bornes du dipôle donnera U.
    Un voltmètre ÄC" branché aux bornes de la résistance r donnera Ur = rI et il suffira de faire I = Ur / r.
  2. Mesure du déphasage ϕ (retard de i par rapport à u)
    La voie Y2 de l'oscilloscope visualise la tension ur qui est proportionnelle à i.
    La voie Y1 de l'oscilloscope visualise la tension uGBF qui est très proche de la tension u car ur est négligeable devant u.
    ⇒ Le déphasage ϕ se visualise directement (u → Y1 et i → Y2).

Montage pour les associations "parallèle"

  1. Mesure des valeurs efficaces U et I
    Un voltmètre ÄC" branché aux bornes du dipôle donnera U.
    Un voltmètre ÄC" branché aux bornes du GBF donnera la tension uGBF directement proportionnelle au courant I (1V → 1 mA).
  2. Mesure du déphasage ϕ (retard de i par rapport à u)
    La voie Y1 de l'oscilloscope visualise directement la tension u.
    La voie Y2 de l'oscilloscope visualise la tension uGBF qui est proportionnelle à i.
    ⇒ Le déphasage ϕ se visualise directement (u → Y1 et i → Y2).

3.4.3  Circuit "RL série"

Montage

Le dipôle est constitué d'une résistance en série avec une inductance :

Essai à basse fréquence

Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence. On mesure une tension UR proche de U et une tension UL petite devant U.
L'oscillogramme est le suivant :
On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur (i est en retard par rapport à u). Le courant I est proche de la valeur U / R.
⇒ L'inductance semble avoir une action négligeable à cette fréquence.

Essai à haute fréquence

Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence. On mesure une tension UL proche de U et une tension UR petite devant U. L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
On constate un déphasage ϕ positif et proche de π/2 (i est en retard par rapport à u).
Le courant I est proche de la valeur [U/(Lω)].
⇒ La résistance semble avoir une action négligeable à cette fréquence.

Interprétation

  1. Représentation de Fresnel : La relation vectorielle donne U = UR + UL avec :
    UR colinéaire à I car uR et i sont ën phase".
    UL en avance de π/2 par rapport à I car uL est en "quadrature avance" sur i.
    La longueur des vecteurs donne UR = RI et UL = LωI. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
    U2=UR2+UL2

    ⇒ (ZRLsérieI)2 = (RI)2 + (LωI)2

    ⇒ ZRLsérie2 = R2 + (Lω)2

    ⇒ ZRLsérie =

     

    R2 + (Lω)2
     
    .
    On a aussi
    ϕRLsérie=tan−1(

    R
    ).
    En basse fréquence, on a Lω << R ce qui donne ZRLsérie ≈ R et ϕRLsérie ≈ 0.
    En haute fréquence, on a R << Lω ce qui donne ZRLsérie ≈ L ω et ϕRLsérie ≈ +π/2.
  2. Impédance complexe :
    Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
    ZRLsérie = ZR + ZL = R + jLω = [ZRLsérieRLsérie
    avec
    ⇒ ZRLsérie =

     

    R2 + (Lω)2
     
    et
    ϕRLsérie=tan−1(

    R
    ).
    En basse fréquence, on a Lω << R ce qui donne ZRLsérie ≈ R.
    En haute fréquence, on a R << Lω ce qui donne ZRLsérie ≈ jLω.

3.4.4  Circuit "RC série"

Montage

Le dipôle est constitué d'une résistance en série avec un condensateur :

Essai à basse fréquence

Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence. On mesure une tension UC proche de U et une tension UR petite devant U. L'oscillogramme est donné ci-dessous :
On constate un déphasage ϕ négatif et proche de −π/2 (i est en avance par rapport à u). Le courant I est proche de la valeur CωU.
⇒ La résistance semble avoir une action négligeable à cette fréquence.

Essai à haute fréquence

Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence. On mesure une tension UR proche de U et une tension UC petite devant U.
L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur (i est en avance par rapport à u). Le courant I est proche de la valeur [U/R].
⇒ Le condensateur semble avoir une action négligeable à cette fréquence.

Interprétation

  1. Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne U = UR + UC avec :
    UR colinéaire à I car uR et i sont ën phase".
    UC en retard de π/2 par rapport à I car i est en "quadrature avance" sur uC.
    La longueur des vecteurs donne UR = RI et UC=[1/(Cω)]I. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
    U2=UR2+UC2

    ⇒ (ZRCsérieI)2 = (RI)2 + ( 1


    I)2

    ⇒ ZRCsérie2 = R2 + ( 1


    )2

    ⇒ ZRCsérie =   ⎛


    R2 + ( 1


    )2
     
    .
    On a aussi
    ϕRCsérie=tan−1( 1

    RCω
    ).
    En basse fréquence, on a R << [1/(Cω)] ce qui donne ZRCsérie ≈ [1/(Cω)] et ϕRCsérie ≈ −π/2
    En haute fréquence, on a [1/(Cω)] << R ce qui donne ZRCsérie ≈ R et ϕRCsérie ≈ 0.
  2. Impédance complexe Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
    ZRCsérie = ZR + ZC = R − j 1


    = [ZRCsérieRCsérie
    avec
    ⇒ ZRCsérie =   ⎛


    R2 + ( 1


    )2
     
    et
    ϕRLsérie=tan−1( 1

    RCω
    ).
    En basse fréquence, on a R << [1/(Cω)] ce qui donne ZRCsérie ≈ −j[1/(RCω)].
    En haute fréquence, on a [1/(Cω)] << R ce qui donne ZRCsérie ≈ R.

3.4.5  Circuit "RLC série"

Montage

Le dipôle est constitué d'une résistance en série avec une inductance et en série avec un condensateur :

Essai à basse fréquence

Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de faible fréquence.
On mesure une tension UC supérieure à UL.
L'oscillogramme est représenté ci-dessous :
On constate un déphasage ϕ négatif (i est en avance par rapport à u).
⇒ Le condensateur semble avoir une action prépondérante face à l'inductance.

Essai à haute fréquence

Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de haute fréquence.
On mesure une tension UL supérieure à UC. L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
On constate un déphasage ϕ positif (i est en retard par rapport à u).
⇒ L'inductance semble avoir une action prépondérante face au condensateur.

Essai à la fréquence telle que ϕ = 0 (résonance)

Le dipôle est alimenté avec une tension sinusoïdale de fréquence telle que ϕ = 0. On mesure une tension UL égale à UC et on constate que le courant I est maximum par rapports aux autres fréquences.
L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
On a réglé la fréquence jusqu'à avoir ϕ = 0.

Interprétation

  1. Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne U = UR + UL + UC avec :
    • UR colinéaire à I car uR et i sont ën phase".
    • UL en avance de π/2 par rapport à I car uL est en "quadrature avance" sur i.
    • UC en retard de π/2 par rapport à I car i est en "quadrature avance" sur uC.
    • Basse fréquence
      UC étant supérieur à UL, le vecteur U se situe "du côté" de UC avec un déphasage négatif.
    • Haute fréquence
      UL étant supérieur à UC, le vecteur U se situe "du côté" de UL avec un déphasage positif.
      <div class="p">
  • Fréquence de résonance (ϕ = 0)
    UC étant égal à UL, le vecteur U se retrouve colinéaire au vecteur I (ϕ = 0)
    La longueur des vecteurs donne UR = RI ; UL = LωI et UC=[1/(Cω)] I. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
    U2=UR2+(UL−UC)2

    ⇒ (ZRLCsérieI)2 = (RI)2 + (LωI− 1


    I)2

    ⇒ ZRLCsérie2 = R2 + (Lω− 1


    )2

    ⇒ ZRLCsérie =   ⎛


    R2 + (Lω− 1


    )2
     
    .
    On a aussi
    ϕRLCsérie=tan−1(
    Lω− 1



    R
    ).
    En basse fréquence, on a Lω << [1/(Cω)] ce qui donne ZRLCsérie ≈ ZRCsérie et ϕRCsérie < 0
    En haute fréquence, on a [1/(Cω)] << Lω ce qui donne ZRLCsérie ≈ ZRLsérie et ϕRCsérie > 0.
    À la fréquence telle que ϕRCsérie = 0, on a Lω = [1/(Cω)] ce qui donne ZRLCsérie = R.
    On a aussi :
    LCω02=1 ⇒ ω0= 1




    LC
    ou
    f0= 1




    LC
    .
  • Impédance complexe Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en série :
    ZRLCsérie = ZR+ZL+ZC = R +j(Lω− 1


    ) = [ZRLCsérieRLCsérie]
    avec
    ⇒ ZRLCsérie =   ⎛


    R2 + (Lω− 1


    )2
     
    et
    ϕRLCsérie=tan−1(
    Lω− 1



    R
    ).
    En basse fréquence, on a Lω << [1/(Cω)] ce qui donne ZRLCsérie ≈ R−j[1/(Cω)].
    En haute fréquence, on a [1/(Cω)] << Lω ce qui donne ZRLCsérie ≈ R+jLω.
    À la fréquence telle que ϕRLCsérie = 0, on a Lω0=[1/(Cω0)] ce qui donne ZRLCsérie = R.
  • Étude particulière de la résonance

    1. Expérience
      On alimente un circuit RLC série avec une tension sinusoïdale de tension efficace 5V et de fréquence f0 telle que ϕ = 0 (résonance).
      On mesure aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine, une tension efficace de 12V.
      ⇒ Il y a donc une surtension aux bornes de la bobine et aux bornes du condensateur à la résonance.
    2. Interprétation
      À la fréquence f0, l'impédance du circuit est minimale et égale à R; le courant est donc maximal (on dit qu'il y a résonance en courant).
      L'intensité du courant à la résonance est donc I0=[U/R] et la tension aux bornes du condensateur est
      UC= 1

      0
      I0= U

      RCω0
      (avec ω0 = 2πf0). Le rapport entre la tension UC et la tension U est donc [(UC)/U] = [1/(RCω)] et ce rapport peut être supérieur à 1 d'où le phénomène de surtension lié au phénomène de surintensité.
      On définit le coefficient de surtension à la résonance
      Q0= 1

      RCω0
      =0

      R
      .

    3.4.6  Circuit "RL parallèle"

    Montage

    Le dipôle est constitué d'une résistance en parallèle avec une inductance :

    Essai à basse fréquence

    Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de basse fréquence. On mesure un courant IL proche de I et un courant IR petit devant I. L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
    On constate un déphasage ϕ positif et proche de π/2 (i est en retard par rapport à u).
    La tension U est proche de la valeur Lω.I.
    ⇒ La résistance semble avoir une action négligeable à cette fréquence.

    Essai à haute fréquence

    Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence. On mesure un courant IR proche de I et un courant IL petit devant I.
    L'oscillogramme est donné ci-dessous :
    On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur (i est en retard par rapport à u).
    La tension U est proche de la valeur R.I.
    ⇒ L'inductance semble avoir une action négligeable à cette fréquence.

    Interprétation

    1. Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne I = IR + IL avec : IR colinéaire à U car iR et u sont ën phase".
      IL en retard de π/2 par rapport à U car iL est en "quadrature retard" sur u.
      La longueur des vecteurs donne
      IR= U

      R
      et
      IL= 1


      U.
      En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
      I2=IR2+IL2

      ⇒ (YRLparallU)2 = ( 1

      R
      U)2 + ( 1


      U)2

      ⇒ YRLparall2 = ( 1

      R
      )2 + ( 1


      )2

      ⇒ YRLparall =   ⎛


      ( 1

      R
      )2 + ( 1


      )2
       
      On a aussi
      ϕRLparall=tan−1( R


      ).
      En basse fréquence, on a [1/R] << [1/(Lω)] ce qui donne YRLparall ≈ [1/(Lω)] soit ZRLparall ≈ Lω et ϕRLparall ≈ +π/2.
      En haute fréquence, on a [1/(Lω)] << [1/R] ce qui donne YRLparall ≈ [1/R] soit ZRLparall ≈ R et ϕRLparall ≈ 0.
    2. Admittance complexe Les admittances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle :
      YRLparall = YR+ YL= 1

      R
      −j 1


      =[YRLparall;−ϕRLparall]
      avec
      YRLparall =   ⎛


      ( 1

      R
      )2 + ( 1


      )2
       
      et
      ϕRLparall=tan−1( R


      ).
      En basse fréquence, on a [1/R] << [1/(Lω)] ce qui donne YRLparall ≈ −j[1/(Lω)] soit ZRLparall ≈ jLω.
      En haute fréquence, on a [1/(Lω)] << [1/R] ce qui donne YRLparall ≈ [1/R] soit ZRLparall ≈ R.

    3.4.7  Circuit "RC parallèle"

    Le dipôle est constitué d'une résistance en parallèle avec un condensateur :

    Essai à basse fréquence

    Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de basse fréquence. On mesure un courant IR proche de I et un courant IC petit devant I. L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
    On constate un déphasage ϕ positif et de faible valeur (i est en avance par rapport à u).
    La tension U est proche de la valeur R.I.
    ⇒ Le condensateur semble avoir une action négligeable à cette fréquence.

    Essai à haute fréquence

    Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence. On mesure un courant IC proche de I et un courant IR petit devant I. L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
    On constate un déphasage ϕ négatif et proche de −π/2 (i est en avance par rapport à u).
    La tension U est proche de la valeur [1/(Cω)]I.
    ⇒ La résistance semble avoir une action négligeable à cette fréquence.

    Interprétation

    1. Représentation de Fresnel
      La relation vectorielle donne I = IR + IC avec : IR colinéaire à U car iR et u sont ën phase".
      IC en retard de π/2 par rapport à U car iC est en "quadrature retard" sur u.
      La longueur des vecteurs donne
      IR= U

      R
      et
      IC=CωU.
      En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
      I2=IR2+IC2

      ⇒ (YRCparallU)2 = ( 1

      R
      U)2 + (CωU)2

      ⇒ YRCparall2 = ( 1

      R
      )2 + (Cω)2

      ⇒ YRCparall =   ⎛


      ( 1

      R
      )2 + (Cω)2
       
      On a aussi
      ϕRCparall=−tan−1(RCω).
      En basse fréquence, on a Cω << [1/R] ce qui donne YRCparall ≈ [1/R] soit ZRCparall ≈ R et ϕRCparall ≈ 0.
      En haute fréquence, on a [1/R] << Cω ce qui donne YRCparall ≈ Cω soit ZRCparall ≈ [1/(Cω)] et ϕRCparall ≈ −π/2.
    2. Admittance complexe Les admittances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle :
      YRCparall = YR+ YC= 1

      R
      +jCω = [YRCparall;−ϕRCparall]
      avec
      YRCparall =   ⎛


      ( 1

      R
      )2 + (Cω)2
       
      et
      ϕRCparall=tan−1(RCω).
      En basse fréquence, on a Cω << [1/R] ce qui donne YRCparall ≈ [1/R] soit ZRCparall ≈ R.
      En haute fréquence, on a [1/R] << Cω ce qui donne YRCparall ≈ jCω soit ZRCparall ≈ −j[1/(Cω)] et ϕRCparall ≈ − π/2.

    3.4.8  Circuit "RLC parallèle"

    Montage

    Le dipôle est constitué d'une résistance en série avec une inductance et en série avec un condensateur :

    Essai à basse fréquence

    Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de faible fréquence.
    On mesure un courant IL supérieure à IC.
    L'oscillogramme est représenté ci-dessous :
    On constate un déphasage ϕ positif (i est en retard par rapport à u).
    ⇒ L'inductance semble avoir une action prépondérante face au condensateur.

    Essai à haute fréquence

    Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de haute fréquence.
    On mesure un courant IC supérieure à IL. L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
    On constate un déphasage ϕ négatif (i est en avance par rapport à u).
    ⇒ Le condensateur semble avoir une action prépondérante face à l'inductance.

    Essai à la fréquence telle que ϕ = 0 (résonance)

    Le dipôle est alimenté avec un courant sinusoïdal de fréquence telle que ϕ = 0. On mesure un courant IL égale à IC et on constate que le courant U est maximale par rapport aux autres fréquences.
    L'oscillogramme est indiqué ci-dessous :
    On a réglé la fréquence jusqu'à avoir ϕ = 0.

    Interprétation

    1. Représentation de Fresnel La relation vectorielle donne I = IR + IL + IC avec :
      • IR colinéaire à U car iR et u sont ën phase".
      • IL en retard de π/2 par rapport à U car iL est en "quadrature avance" sur u.
      • IC en avance de π/2 par rapport à U car iC est en "quadrature avance" sur u.
      • Basse fréquence
        IL étant supérieur à IC, le vecteur I se situe "du côté" de IL avec un déphasage positif.
      • Haute fréquence
        IC étant supérieur à IL, le vecteur I se situe "du côté" de IC avec un déphasage négatif.
      • Fréquence de résonance (ϕ = 0)
        IC étant égal à IL, le vecteur I se retrouve colinéaire au vecteur U (ϕ = 0)
        La longueur des vecteurs donne IR = [1/R]U; IL = [1/(Lω)] U et IC=CωI. En appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
        I2=IR2+(IL−IC)2

        ⇒ (YRLCparallI)2 = ( 1

        R
        I)2 + ( 1


        I−CωI)2

        ⇒ YRLCparall2 = ( 1

        R
        )2 + ( 1


        −Cω)2

        ⇒ YRLCparall =   ⎛


        ( 1

        R
        )2 + ( 1


        −Cω)2
         
        .
        On a aussi
        ϕRLCparall=tan−1(
        1


        −Cω

        1

        R
        ).
        En basse fréquence, on a [1/(Lω)] >> Cω ce qui donne YRLCparall ≈ YRLparall et ϕRLCparall > 0
        En haute fréquence, on a Cω >> [1/(Lω)] ce qui donne YRLCparall ≈ YRLparall et ϕRLCparall < 0.
        À la fréquence telle que ϕRLCparall = 0, on a Lω = [1/(Cω)] ce qui donne YRLCparall = [1/R].
        On a aussi :
        LCω02=1 ⇒ ω0= 1




        LC
        ou
        f0= 1




        LC
        .
    2. Impédance complexe Les impédances s'ajoutent car les dipôles sont en parallèle :
      YRLCparall = YR+YL+YC = 1

      R
      +j(Cω− 1


      ) = [YRLCparallRLCparall]
      avec
      ⇒ YRLCparall =   ⎛


      ( 1

      R
      )2 + (Cω− 1


      )2
       
      et
      ϕRLCparall=tan−1(
      Cω− 1



      1

      R
      ).
      En basse fréquence, on a Cω << [1/(Lω)] ce qui donne YRLCparall ≈ [1/R]−j[1/(Lω)].
      En haute fréquence, on a [1/(Lω)] << Cω ce qui donne YRLCparall ≈ [1/R]+jCω.
      À la fréquence telle que ϕRLCparall = 0, on a Lω = [1/(Cω)] ce qui donne YRLCparall=[1/R].

    Étude particulière de la résonance

    1. Expérience On alimente un circuit RLC parallèle avec un courant sinusoïdal d'intensité efficace 10 mA et de fréquence f0 telle que ϕ = 0 (résonance).
      On mesure aux bornes du condensateur et aux bornes de la bobine, un courant efficace de 50 mA.
      ⇒ Il y a donc une surintensité dans la bobine et dans le condensateur à la résonance.
    2. Interprétation À la fréquence f0, l'admittance du circuit est minimale et égale à [1/R]; la tension est donc maximale (on dit qu'il y a résonance en tension).
      La tension à la résonance est donc U0 = RI et le courant dans le condensateur est
      IC=0U0 = Cω0RI  (avec ω0 = 2πf0).
      Le rapport entre le courant IC et le courant I est donc [(IC)/I]=RCω0 et ce rapport peut être supérieur à 1 d'où le phénomène de surintensité lié au phénomène de surtension. On définit le coefficient de surintensité à la résonance
      Q0 = RC ω0 = R


      .

    3.5  Puissances en régime sinusoïdal

    3.5.1  Objectifs

    • Observer le chronogramme de la puissance instantanée absorbée par un dipôle en régime sinusoïdal et ainsi, appréhender la notion de puissance active (puissance moyenne).
    • Trouver la relation entre la puissance active fournie par un générateur et les puissances actives absorbées par les récepteurs.
    • Introduire la notion de facteur de puissance après avoir défini la puissance apparente.
    • Découvrir plusieurs méthodes de mesure de la puissance active.

    3.5.2  Puissance instantanée

    Utilisation de la relation vue en régime continu

    La définition de la puissance reçue par un dipôle en régime continu et en convention récepteur est :

    P=U.I
    • P en Watts (W)
    • U en Volts (V)
    • A en Ampères (A)
    Avec la convention récepteur, le comportement du dipôle est le suivant :
    • si p = ui > 0, alors le dipôle reçoit la puissance (récepteur)
    • si p = ui < 0, alors le dipôle fournit la puissance (générateur).
    En régime sinusoïdal, la tension et le courant sont variables dans le temps, la puissance porte donc le nom de puissance instantanée et la relation devient :
    p(t) = u(t).i(t)
    Si la tension et le courant sont variables, la puissance sera aussi variable dans le temps.

    Expérience

    Les deux circuits suivants sont très utilisés en électronique :
    • le convertisseur courant → tension,
    • le multiplieur de tension.
    Nous allons utiliser ces deux circuits pour visualiser la puissance instantanée sur l'écran d'un oscilloscope (schéma suivant) :
    L'oscillogramme est représenté ci-dessous :
    Observations :   On constate que la puissance varie aussi de façon sinusoïdale et comporte une valeur moyenne non nulle.
    Interprétation :   on a
    u(t) = U √2 cos(ωt) et i(t) = I √2 sin(ωt − ϕ)

    ⇒ p(t) = 2UI cos(ωt)cos(ωt − ϕ)

    ⇒ p(t) = UI cosϕ− UI cos(2ωt − ϕ).
    Le terme : UI cosϕ est indépendant du temps (valeur moyenne).
    Le terme : UI cos(2ωt − ϕ) représente la partie variable de la puissance.
    Remarque :   La puissance instantanée peut, à des instants précis, être négative et dans ce cas le dipôle récepteur devient générateur (circuits inductifs ou capacitifs).

    3.5.3  Puissance active

    Définition

    Observons en détail les chronogrammes relatifs à u(t), i(t) et p(t) de l'expérience précédente :
    La puissance active P est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t) = u(t).i(t) En régime sinusoïdal, on a :
    P=U.Icosϕ
    • P en Watts (W)
    • U en Volts (V)
    • A en Ampères (A)
    • ϕ déphasage (retard de i par rapport à u)
    Remarque :   Dans le cas d'un dipôle passif, P est positive (cosϕ > 0). Le dipôle est donc globalement récepteur même si, à certains instants, il peut être générateur.

    Dipôles élémentaires

    1. Résistance R : cosϕ = 1 (car ϕ = 0) et U = RI
      ⇒ P=UI=RI2= U2

      R
      .
    2. Inductance L : cosϕ = 0 (car ϕ = 90°) ⇒ P = 0.
      Un dipôle purement inductif n'absorbe pas de puissance active.
    3. Capacité C : cosϕ = 0 (car ϕ = -90°) ⇒ P = 0. Un dipôle purement capacitif n'absorbe pas de puissance active.
    Exemple :   Calculons la puissance active absorbée par un moteur asynchrone (courant alternatif) modélisé par une inductance L = 0,5H en série avec une résistance R = 300ω. Le moteur est alimenté par le réseau (230V ; 50Hz).
    On a P = U I cosϕ avec I=[U/Z] (Z = √{R2 + (Lω)2} et tanϕ = [(Lω)/R].

    1. I = 230




      3002+ (0,5 ×2π×50)2
      ≈ 0,679 A.

    2. cosϕ = cos(tan−1(

      R
      )=cos(tan−1( 0,5×2π×50

      300
      )) ≈ 0,89.

      ⇒ P = U I cosϕ = 230 ×0,679 ×0,89 ≈ 139 W.

    Puissance active absorbée par un ensemble de récepteurs

    Considérons une installation électrique comportant un générateur et plusieurs récepteurs. De par le principe de conservation de l'énergie et donc de la puissance, on peut affirmer que la puissance active fournie (ou absorbée) par le générateur est égale à la somme des puissances actives absorbées (ou fournies) par les récepteurs :
    Pgénérateur = Précepteur1 + Précepteur2 + Précepteur3 + ….
    Retour à l'exemple du moteur :   Recalculons la puissance active absorbée par le moteur :
    P = PR + PL = RI2 + 0 = 300 ×0,6792 ≈ 139 W.
    L'inductance n'absorbe pas de puissance active (PL = 0).
    ⇒ Dans la modélisation d'une machine électrique, la puissance dissipée dans les résistances symbolise la puissance active absorbée par la machine.

    3.5.4  Puissance apparente

    Introduction

    Pour un récepteur, si le terme cosϕ n'est pas connu, on ne peut évaluer le courant efficace I absorbé. Par contre, si produit U.I est connu, il est alors possible d'en déduire la valeur I.

    Définition

    La puissance apparente (notée S) est le produit des valeurs efficaces U et I. C'est une grandeur théorique qui n'a pas d'existence physique en tant que puissance et son unité sera le voltampère (VA) :
    S=U.I
    • S en voltampère (VA)
    • U en Volts (V)
    • I en Ampères (A)
    Exemple du moteur :   Pour le moteur déjà étudié,
    S = UI = 230 ×0,679 ≈ 156 VA.
    Admettons qu'on utilise la puissance active pour caractériser le générateur alimentant le moteur : On a donc Pgéné ≈ 139 W ce qui nous donnerait en régime continu :
    Igéné= Pgéné

    U
    = 139

    230
    ≈ 600 mA
    mais on a Imoteur ≈ 679 mA.
    !!! La seule considération de la puissance active des récepteurs pour dimensionner un générateur conduit à une mauvaise estimation du courant.
    Par contre, si on considère Smoteur = 156 VA, on aura Igéné=[(Sgéné)/U]=[159/230] ≈ 679 mA
    Remarque :   Le principe de conservation de l'énergie ne s'applique pas aux puissances apparentes et on a :
    Sgénérateur ≠ Srécepteur1> + Srécepteur2 + Srécepteur3 + ….

    3.6  Systèmes triphasés équilibrés

    3.6.1  Objectifs

    • Présenter physiquement un réseau de distribution triphasé (générateur + récepteur).
    • Définir le vocabulaire ainsi que les expressions temporelles des tensions et courants.
    • Etudier les différents couplages d'un récepteur triphasé.

    3.6.2  Généralités

    Présentation

    Un circuit triphasé élémentaire est constitué d'un générateur (réseau de distribution de l'énergie) et d'un récepteur. Le schéma est indiqué ci-dessous :
    L'énergie est véhiculée par les trois conducteurs de phase, d'où l'appellation "triphasé". Le conducteur de neutre est en général au potentiel 0V et peut ne pas être utilisé.

    Courants et tensions

    Le circuit présenté plus haut permet de définir 6 tensions et 4 courants (schéma ci-dessous) :
    1. v1, v2 et v3 sont les tensions simples (entre phase et neutre)
    2. u12 = v1 − v2,u23 = v2 − v3,u31 = v3 − v1, tensions composées (entre deux phases)
    3. i1, i2 et i3 sont les courants de ligne. On a la relation : i1 + i2 + i3 = iN. Si le système est équilibré, le courant de neutre iN est nul et on a donc i1 + i2 + i3 = 0.

    3.6.3  Expressions des tensions

    Tensions simples

    La figure ci-dessous représente le chronogramme relatif aux tensions simples u1, u2 et u3 :
    L'observation du chronogramme donne les propriétés suivantes :
    1. Les tensions sont sinusoïdales, de valeur efficace V = [(Vmax)/(√2)] = ≈ 230 V et de fréquence f=[1/T]=[1/(20.10−3)] = 50Hz.
    2. La tension v2 est en retard de 1/3 de période soit −[(2π)/3] rad ou −120° par rapport à v1.
      On a le même retard entre v3 et v2 et entre v1 et v3 ce qui donne les expressions :
      • v1(t) = √2sin(ωt)
      • v2(t) = √2sin(ωt − 2π/3)
      • v3(t) = √2sin(ωt − 4π/3)
    Schéma de Fresnel :   Connaissant la valeur efficace et les phases entre les tensions simples, on peut tracer un schéma de Fresnel :

    Tensions composées

    Reprenons le schéma de Fresnel relatif aux tensions simples et ajoutons les vecteurs relatifs aux tension composées :

    U
     

    12 
    =

    V
     

    1 

    V
     

    2 
    ;

    U
     

    23 
    =

    V
     

    2 

    V
     

    3 
    et

    U
     

    31 
    =

    V
     

    3 

    V
     

    1 
    .
    Relation entre U et V :   Considérons le triangle formé par Ü" et "V" :
    On a [U/2] = Vcos60° ⇒[U/2] = V[(√3)/2]. Ce qui donne la relation fondamentale : U = V √3.
    Réseau de distribution "basse tension" Pour le réseau de distribution domestique, on a V = 230 V et U = 230×3 ≈ 400 V.
    On a donc 230 V entre phase et neutre et 400 V entre deux phases.

    3.6.4  Puissances en triphasé

    Expression des courants

    Le système est supposé équilibré, le récepteur comporte donc trois phases identiques. Les courants i1, i2 et i3 auront donc même valeur efficace I et le même déphasage ϕ par rapport aux tensions respectives v1, v2 et v3.
    Les expressions temporelles des courants seront donc :
    i1(t) = √2sin(ωt − ϕ)

    i2(t) = √2sin(ωt − 2π/3 − ϕ)

    i3(t) = √2sin(ωt − 4π/3 − ϕ)

    Puissance moyenne et puissance apparente

    La puissance moyenne P en (W) absorbée par un récepteur triphasé est égale à la somme des puissances absorbée par chaque phase :
    P = P1 + P2 + P3 = 3VI cosϕ = 3 U

    √3
    I cosϕ
    Ce qui donne la relation générale
    P = √3UI cosϕ.
    • U en Volts (V) est la tension entre phase
    • I en Ampères (A) est le courant de ligne
    • ϕ est le déphasage entre courant de ligne i et tension simple v.
    On a la même relation pour la puissance apparente S en (VA) : S = √3UI.

    3.6.5  Branchements d'un récepteur

    Etudions deux exemples pour décrire les deux branchements possibles en triphasé.
    Exemple 1 :   Considérons un récepteur triphasé composé de trois phases (dipôles). Chaque phase fonctionne sous une tension U = 400 V. Le réseau est de type 230 V /400 V soit V=230 V et U=400 V. Le branchement du récepteur sera de type triangle car la tension d'une phase du récepteur doit être la tension entre phases du générateur. Couplage triangle ⇒
    On démontre que :
    I = J √3.
    Exemple 2 :   Considérons un récepteur triphasé composé de trois phases (dipôles). Chaque phase fonctionne sous une tension U = 230 V. Le réseau est de type 230 V /400 V soit V=230 V et U=400 V. Le branchement du récepteur sera de type étoile car la tension d'une phase du récepteur doit être la tension entre phase et neutre du générateur. Couplage triangle ⇒
    On a démontré que :
    U = V √3.



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    On 27 Oct 2011, 11:03.

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