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Dérivées différentielles

jeudi 4 juillet 2013, par Cayrel

Vos commentaires

  • Le 25 octobre 2012 à 12:08, par Mendoza José En réponse à : Dérivées différentielles - cours

    Bonjour,

    Pour la dérivée n ième de Sin(x), est-ce que sin( x - n.PI/2) peut-être validée ?
    Parce que j’y arrive pas avec la récurrence, mais celle que vous donnez à la correction non plus..

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    • Le 25 octobre 2012 à 17:23, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles - cours

      Montrons que $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n \frac{\pi}{2}\right).$


      Procédons par récurrence sur $n.$
      - Si $n =1 : $ on dérive une fois $\sin$ d’où $\cos x$, on sait que $\cos x = \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ donc la formule est vraie pour $n = 1.$
      - Supposons que la dérivée $n$-ième de $\sin$ vaille $\sin \left(x+ n \frac{\pi}{2}\right)$ et démontrons que c’est vraie au rang $(n+1).$
      - En dérivant la relation précédente, on trouve d’une part la dérivée $(n+1)$-ième de $\sin$ et d’autre part $\left(\sin \left(x+n \frac{\pi}{2}\right)\right)'= \cos\left(x+n \frac{\pi}{2}\right)$ or nous avons $\cos\left(x+n \frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(x+ n\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x+ (n+1) \frac{\pi}{2}\right).$
      On a ainsi démontré que la relation est vraie au rang $(n+1).$
      - Conclusion : la relation est vraie au rang 1 et dès qu’elle est vraie au rang $n$ elle l’est au rang suivant. Donc elle est vraie pour tout entier $n.$
      La dérivée $n$-ième de $\sin$ a donc pour expression : $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n \frac{\pi}{2}\right).$
      Ce qui correspond à :
      - si $n \equiv 0 \pmod 4,$ $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+(4k+0) \frac{\pi}{2}\right)=\sin(x+2k\pi)=\sin x.$
      - si $n \equiv 1 \pmod 4,$ $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+(4k+1) \frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+2k\pi+ \frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+ \frac{\pi}{2}\right)=\cos x$.
      - si $n \equiv 2 \pmod 4,$ $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+(4k+2) \frac{\pi}{2}\right)=\sin(x+2k\pi+ \pi)=\sin(x+ \pi)=-\sin x$.
      - si $n \equiv 3 \pmod 4,$ $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+(4k+3) \frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+2k\pi+ \frac{3\pi}{2}\right)=\sin\left(x+ \frac{3\pi}{2}\right)=\sin\left(x- \frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$.

      J’espère que cela répond à ta question (?)

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  • Le 13 novembre 2012 à 22:44, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles - cours

    Plusieurs d’entre vous ont eux du mal avec les développements limités donnés en exercice. Je vais détailler ici la correction du DL de $\ln(\cos x)$ en 0 à l’ordre 6.

    On rappelle les développements limités classiques suivants à l’ordre $n$ en 0 :

    $$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{n!}+x^n\epsilon(x)$$

    $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+x^n\epsilon(x)$$

    1. Première étape : On commence par remplacer $\cos(x)$ par son DL rappelé en début d’énoncé.

      $$\ln(\cos(x))=\ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x))=\ln(1+X) \textrm{ avec } X=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x)$$

    qui tend bien vers 0 lorsque $x$ tend vers 0.

    1. Deuxième étape : On utilise maintenant le DL en 0 de $\ln(1 + X)$. Comme la plus petite puissance de $x$ dans $X$ est en $x^2,$ il est suffisant de considérer le DL de $\ln(1 + X)$ jusqu’à l’ordre $3$ ($X^3$) : au delà, les plus petites puissances seront en $x^8$ qui ne nous intéressent pas pour l’ordre 6 demandé par l’énoncé.

      $$\ln(1+X)=X-\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3}+x^3\epsilon(x)$$

    1. Troisième étape : On remplace dans l’expression précédente $X$ par sa valeur.

      $$\ln(\cos x)=\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x)\right)-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x)\right)^2+\frac{1}{3}\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x)\right)^3+x^6\epsilon(x)$$

    Il reste maintenant à développer les puissances.

    Notons que $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

    Dans le terme $X^2,$ les puissances de $x$ plus petites que 6 proviennent :
    - du terme $-\frac{x^2}{2}$ multiplié par lui même (ce terme correspond à $a^2,$ donc pas de coefficient supplémentaire)
    - du terme $-\frac{x^2}{2}$ multiplié par $x^4 /24$ (ce terme correspond à $ab,$ donc coefficient supplémentaire de 2).

    Notons que $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3.$

    Dans le terme $X^3,$ les puissances de $x$ plus petites que 6 proviennent du terme $-\frac{x^2}{2}$ au cube (ce terme correspond à $a^3,$ donc pas de coefficient supplémentaire).

    On a donc :

    $$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right)+2\left(-\frac{x^2}{2}\right)\left(\frac{x^4}{24}\right)\right)+\frac{1}{3}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^3+x^6\epsilon(x)$$

    $$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+x^6\epsilon(x)$$

    $$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^6}{45}+x^6\epsilon(x)$$

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  • Le 26 septembre 2014 à 09:19, par Rafiki En réponse à : Dérivées différentielles - cours

    Bonjour, sur le premier exercice d’autonomie sur le chapitre 1
    Pourquoi ne pas utiliser le DL de ln(1+x) en 0 ?
    En utilisant le DL on obtient un reste de x^3/3 qui n’est pas sans rappeler le votre à une constante près...

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    • Le 29 septembre 2014 à 09:44, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles - cours

      Bonjour Rafiki,

      En effet, tu as raison on peut prendre le DL de $\ln(1+x)$ en 0. L’important est d’avoir un reste de degré 3 strictement positif .

      C’est ce qui est décrit dans la correction d’ailleurs.

      Bon courage !

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      • Le 25 mai 2015 à 22:28, par Christophe REBREYEND En réponse à : Dérivées différentielles - cours

        Bonjour M Cayrel.
        Je me permets de me greffer sur ce post car ma question porte sur ce même exercice.

        1ère partie de ma question, n’est il pas possible d’utiliser les dérivées pour résoudre cet exercice ? Sachant que l’on veut montrer que ln(1+x)>x-x²/2 j’ai écrit que c’était comme montrer que ln(1+x)-x+x²/2 >0.
        La dérivée de ln(1+x)-X+x²/2 étant sauf erreur x²/(1+x) est toujours positive sur l’intervalle considéré. Calculant facilement que ln(1+x)-x+x²/2 = 0 pour x = 0, alors ln(1+x)-x+x²/2 >0 est vrai donc ln(1+x)>x-x²/2 est vrai.

        La seconde partie de ma question est que je ne sais pas retrouver le résultat du corrigé de l’exercice. Vous êtes parti de la formule de Taylor-Lagrange ? pourquoi s’arrête t’on à n=3 ? etc .. Bref, n’hésitez pas à délier votre démonstration svp.

        Merci d’avance.

        Cordialement

        Christophe

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  • Le 14 mai 2015 à 22:57, par fpaulin En réponse à : Dérivées différentielles

    Bonjour,

    Suite au 1er cours en cyber pour les GIN, j’ai déjà une question concernant l’exercice 1.1.2.2
    ne peut-on pas utiliser le DL de sin(x) directement plutôt que de passer par sin(A+x) ?
    En posant X=√3.PI.(1+(x²/(6.PI²)) et avec sin(X)=X-X³/3
    On remplace et développe ensuite X dans sin(X) ?

    De plus dans l’énoncé de l’exercice on demande un DL à l’ordre 3 et dans la réponse on termine à l’ordre 1.

    Est-ce normal ?

    Merci d’avance pour ta réponse.

    Cordialement,

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    • Le 17 mai 2015 à 21:20, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles

      Bonsoir,

      Je pense que tu parles de l’exercice 1.1.15 question 2.

      On ne peut pas faire directement le DL de sin(X) car X n’est pas proche de 0 et les DL que nous connaissons sont pour X proche de 0.

      Ensuite, nous cherchons un polynôme de degré 3 (DL ordre 3 en 0 signifie que l’on cherche le polynôme de degré 3 le plus proche de notre fonction de départ pour x proche de 0), c’est pourquoi l’on s’arrête à l’ordre 1 dans le DL de sin(X) car on a déjà un polynôme de degré 2 (X=Ax^2 avec x proche de 0 donc X aussi) et si nous faisions les DL de sin à l’ordre 3 en 0 on aurait un polynôme de degré 6.

      J’espère que c’est clair.

      Bon courage !

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      • Le 18 mai 2015 à 16:46, par Joël ACHARD En réponse à : Dérivées différentielles

        bonjour,
        je pense que François parle bien du 1.1.2.2
        je pense que la formule du DL de sin(x) ne marche pas pour sin(u(x))
        par contre effectivement, le corrigé papier donne un DL d’ordre 1 alors que l’énoncé demande un DL d’ordre 3 et là on se retrouve avec 4 termes allant jusqu’à x^6 du coup, le développement à l’ordre 3 de sin(a+bx^2-cx^4+dx6), ça devient moins fun.
        ou alors il y a une simplification que je ne vois pas
        cordialement

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        • Le 18 mai 2015 à 17:12, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles

          Bonjour,

          Partons avec le même document soit celui ci.

          L’exercice 1.1.2.2 est dans cette nouvelle version 1.1.15 (question 2), je pense que la version papier qu’on vous a envoyé est plus ancienne et les exercices ne sont pas dans le même ordre.

          Le DL en 0 (u(x) proche de 0) de sin(u(x)) est le même que celui de sin(x) (pour x proche de 0), il suffit de remplacer x par u(x) dans le DL de sin(x) et on a gagné. Comme on veut un polynôme de degré 3, on s’arrête au DL d’ordre 2 (ou 1 car c’est le même) de sin(x).

          On reverra ça en TD ensemble si vous le souhaitez.

          Bon courage !

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          • Le 26 mai 2015 à 21:59, par Christophe REBREYEND En réponse à : Dérivées différentielles

            Bonjour.

            Dans les deux cas de cet exercice (le 1.1.15 de votre version), dans les deux cas je ne comprends pas comment l’on arrive à se "débarraser" de la racine carrée ?

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            • Le 27 mai 2015 à 10:56, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles

              Christophe,

              On se débarrasse de la racine en calculant les dérivées successives de (1+x)^a (comme encadré 16 du cours) puis en utilisant la formule du DL (car dans le DL on a que l’évaluation des dérivées successives en 0 que l’on multiplie par un polynôme).

              Bon courage !

              Pierre-Louis

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  • Le 19 mai 2015 à 23:22, par Joël ACHARD En réponse à : Dérivées différentielles

    bonsoir,
    dans l’exercice 1.1.6.2 du document autonomie que l’on trouve en ligne sur votre site, le DL de exp(sin(x)) à l’ordre 3 en 0
    est-ce parce-que sin(0) =0 que vous considérez que exp(sin(x)) = exp(x) quand x tend vers 0 ? et donc la réponse se résume au DL de exp(x) ?
    pourquoi vous arrêtez vous à l’ordre 2 alors qu’il y a bel et bien un ordre 3 dans le DL de exp ? Est-ce parce que votre reste est d’ordre 3 ?
    je croyais que nous ne devions pas nous en préoccuper et l’appeler simplement "reste" ?
    merci
    cordialement

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    • Le 20 mai 2015 à 11:08, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles

      Bonjour Joël,

      Le DL en 0 de $\sin(x)$ est

      $$\sin(x) = x - \frac{1}{3!}x^3 + \textrm{reste}.$$

      Le DL en 0 de $\exp(X)$ est

      $$\exp(X) = 1 + X + \frac{1}{2}X^2 + \frac{1}{3!}X^3 + \textrm{reste}.$$

      En injectant le DL de $\sin(x)$ dans celui de $\exp(X)$ (on remplace $X$ par $x - \frac{1}{3!}x^3),$ on obtient :
      Le DL en 0 de

      $$\exp(\sin(x)) = 1+(x - \frac{1}{3}x^3)+\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{3!}x^3\right)^2 + \frac{1}{3!}\left(x - \frac{1}{3!}x^3\right)^3 + \textrm{reste}.$$

      Soit $\exp(\sin(x)) = 1 + x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \textrm{reste}$ (les termes de degré supérieur à 3 sont dans le $\textrm{reste}$) d’où le résultat de la correction :

      $$\exp(\sin(x)) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \textrm{reste}$$

      Vous pouvez écrire $\textrm{reste}$ au lieu de $o(x^3)$.

      Pour un DL à l’ordre 4 de $\exp(\sin(x))$ tu peux regarder l’exo 1 question 4 (avec correction) de ce document

      Bon courage !

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  • Le 25 mai 2015 à 22:27, par swsk En réponse à : Dérivées différentielles

    Bonjour Mr CAYREL,

    J’ ai une question concernant un exercice corrigé d’autonomie, le 1.1.15 page 9. Dans le corrigé de la 2eme fonction g(x,y,z), je ne comprend pas le présence de -z dans la 1ere parenthèse et de -x dans la 3eme parenthèse.

    Pourriez vous m’aider ? Je vous remercie d’avance.

    Cordialement.

    Sébastien SIEWIERSKI

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    • Le 27 mai 2015 à 11:09, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles

      Sébastien,

      Effectivement, c’est une erreur.
      Soit un -xz a disparu dans la définition de g.
      Soit on enlève le -z et le -x de dg.

      Ceci sera corrigé dans la prochaine version de l’autonomie.

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  • Le 29 mai 2015 à 16:45, par Cayrel En réponse à : Dérivées différentielles

    J’ai corrigé le support de cours d’autonomie ici.
    Il est censé prendre en compte vos commentaires.

    Bon courage !

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