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Equations différentielles

mardi 2 juillet 2013, par Cayrel

Vos commentaires

  • Le 1er avril 2012 à 18:19, par Cayrel Pierre-Louis En réponse à : Un cours sur les équations différentielles en vidéo

    Vous trouverez ici une vidéo qui date un peu mais qui détaille assez bien ce que sont les équations différentielles et leurs techniques de résolution.

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  • Le 26 novembre 2013 à 22:09, par Pierre FREVILLE En réponse à : Equations Différentielles - cours

    Bonjour, je suis en GINFA13 et aujourd’hui j’ai eu un problème avec l’exercice 5.1 du TD sur les équations différentielles. Sans la correction, j’ai été bloqué lorsque l’on doit faire le développement limité de sin( x.f’). Avec l’ordre 3 effectivement j’ai réussi à finir l’exercice sans encombre en ayant vu dans la correction qu’il fallait s’arrêter à l’ordre 3. Mais pour le faire à l’ordre 5, vu qu’on rajoute (u^5)/5 ! au développement limité de sin(u) comment fait-on pour le calculer ?

    En fait grâce à l’équation différentielle de départ, en introduisant f(0) et f’(0) j’en ai déduit que f’’(0) = 1, pas besoin de poser C du coup.

    Après il est aisé de calculer (a+b)^n . Mais calculer (a+b+c+d+e)^n même en négligeant les termes x^n (n>5) par rapport au termes (n<6) paraît être interminable même en appliquant la formule dont les coefficients de chaque monome sont donnés par le triangle de pascal.

    Comment avez-vous donc fait pour savoir qu’il suffit de faire le développement limité à l’ordre 3 ? Comment calculer un tel développement limité à l’ordre 5 ?

    Merci d’avance.
    Respectueusement,
    Pierre FREVILLE, GINFA13 G6

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    • Le 27 novembre 2013 à 15:30, par Cayrel En réponse à : Equations Différentielles - cours

      Bonjour Pierre,

      On ne peut pas savoir à l’avance (de manière certaine) à quel ordre s’arrêter.
      Dans un énoncé d’examen, on vous guiderait en vous donnant l’ordre de chacun des DL.

      En ce qui concerne la correction, elle a été faite en deux temps, j’ai développé à l’ordre 5 dans un premier temps et me suis rendu compte que l’ordre 3 suffisait (après avoir réunit tous les termes du DL).

      Cet exercice est difficile, ce qui est important que tu retiennes et comment on calcule un DL et comment on compose plusieurs DL.

      Bon courage.

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  • Le 12 décembre 2014 à 18:06, par Cyril RUEL En réponse à : Equations Différentielles - cours

    Bonjour,

    Je suis GIN FA 14 et je ne comprends pas une partie de la correction de l’exercice 9 du td Eq. Diff. donné par mme rivollier.
    En effet nous arrivons à un moment à f’’+ 5f’= 1 + x^2.
    Dans la correction nous devons pressentir que la solution particulière f est un polynome à l’ordre 3 or je ne vois vraiment pas pourquoi un ordre 3 et pas 2 qui semblerait plus logique ou un autre ordre.

    Merci d’avance.

    Cyril RUEL

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    • Le 12 décembre 2014 à 18:10, par Cayrel En réponse à : Equations Différentielles - cours

      Bonsoir,

      f’ est de degré supérieur à f’’ donc le degré de f’’+5f’ est celui de f’.

      On veut que le degré de f’ soit 2 (comme 1+x^2) donc f doit être de degré 3 (pour que f’ soit de degré 2 car en dérivant un polynôme de degré d on obtient un polynôme de degré d-1).

      Par identification, on termine ce polynôme.

      Bon courage !

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  • Le 3 octobre 2015 à 19:28, par Rieu En réponse à : Equations différentielles

    Bonjour,
    Je suis en train de réviser pour le partiel d’octobre et j’aurai une question le partiel GINFA13 n°2, exo 1 sur les équations différentielles.
    Dans la correction du 1. (b) vous dites "posons h(x)=(x²+2x)exp(-x)"
    1- comment faites vous pour trouver cette affirmation ?
    2- en utilisant la technique y=(ax+b)exp(-x) et en calculant y’ et y’’ et en resolvant y’’-y’-2y et en identifiant, je ne retrouve pas les valeurs de la correction. (je trouve yp=(4/3)x*exp(-x) )
    est il possible qu’il y ait plusieurs solutions particulières ?

    Merci de votre réponse,
    Cordialement,

    Romane Rieu

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    • Le 6 octobre 2015 à 16:14, par Cayrel En réponse à : Equations différentielles

      Bonjour Romane,

      La méthode la plus simple et efficace pour trouver une solution particulière à une équation différentielle de la forme :

      $$h(x)=P(x)e^{-x}$$

      $P(x)$ est un polynôme dont le degré est à déterminer.

      C’est aussi écrit dans la correction (en tous cas dans la version que j’ai et que je peux t’envoyer par mail si tu me donnes ton mail).

      Dans la technique que tu proposes, la solution particulière que tu cherches est de la forme $y=(ax+b)e^{-x}$.
      Cela ne peut pas marcher car la solution est de la forme $h(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x}$ (les polynômes n’ont pas le même degré !!)

      Il y a plein de solutions particulières, ce n’est pas grave de ne pas trouver la même que moi.
      Par contre l’ensemble des solutions de l’équation du départ (la somme de la particulière et de la solution de l’équation homogène) doit être le même que celui que je donne dans la correction.

      J’espère que c’est un peu plus clair ?

      Bon courage !

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      • Le 6 octobre 2015 à 17:51, par SENEGAS Johan En réponse à : Equations différentielles

        Bonjour,

        Serait-il possible de m’envoyer la correction par email, s’il vous plait.
        Car j’ai essayé d’utiliser la méthode du cours, avec le polynome Q"(x) dans le cas d’une équation de la forme exp(n*x) * P(x). Comme énnoncé dans votre réponse, mais j’obtient après dérivation et ajout à l’équation de départ :
        Q"(x) - 3*Q’(x) = (-6x-4)

        Ensuite, j’avoue ne pas trop comprendre comment l’on peut savoir que notre solution est de la forme h(x)=(ax2+bx+c)e−x , est-ce à partir des racines déterminé pour la solution homogène comme j’ai pu le voir dans des exos d’autonomie ? ou est-ce le même cas que dans votre réponse à Cyril pour l’exercice 9 du Td.Equa diff ?

        Et enfin, comment notre ensemble de solution peut-il être le même que vous, à partir du moment où notre solution particulière est différente ? Notre solution homogène étant la même que vous.

        Merci d’avance, et désolé pour ces questions.
        Bonne soirée.

        Johan

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        • Le 6 octobre 2015 à 21:00, par Cayrel En réponse à : Equations différentielles

          Bonsoir Johan,

          Je t’ai envoyé la correction par mail.

          Si tu arrives à $Q''(x)-3Q(x)=-6x-4$, tu peux en déduire le degré de $Q$.

          $Q$ doit être de degré 2 pour que $Q''(x)-3Q(x)$ soit de degré $1$ puisque égal à $-6x-4.$

          Il est possible d’avoir des solutions particulières différentes et la même solution générale si les solutions particulières ne différent que de la solution de l’équation homogène.

          On en reparle en autonomie encadrée.

          Bon courage !

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  • Le 4 février à 22:35, par swsk En réponse à : Equations différentielles

    Bonjour Pierre-Louis,

    J’ai un problème sur l’exercice 3.1.8 question n°2 P37/94 du poly exercices d’autonomie ISTP : Plus exactement, cela concerne la recherche des solutions particulières y2 et y3. Pourquoi dans le corrigé on recherche des solutions particulières de la forme y2=axe^(x) et y3=ae(x) alors que les seconds membres sont de la même forme ?
    Pour moi, y2 devrait être de la même forme que y3, a savoir ae^(x), je ne comprends pas pourquoi il y a un x en plus dans l’écriture de y2 ? Pouvez vous m’aider a comprendre ?

    Par avance je vous remercie.

    Cordialement.

    Sébastien SIEWIERSKI

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    • Le 5 février à 08:24, par Cayrel En réponse à : Equations différentielles

      Bonjour Sébastien,
      En ce qui concerne la recherche d’une solution particulière pour une équation différentielle du second ordre, nous avons vu en cours que pour un second membre du type $e^{mx}P(x)$ on cherche une solution de la forme $e^{mx}Q(x)$ avec $Q(x)$ un polynôme dont on ne connaît pas le degré. Il faut que tu continues d’utiliser cette méthode.
      Par contre, on peut savoir (à l’avance) le degré de $Q(x)$ (wikipédia te détaille pourquoi ici).
      Cette méthode n’est plus au programme et la correction de cet exercice sera mise en jour prochainement.
      Bon courage dans tes révisions !

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  • Le 15 mars à 22:26, par fpaulin En réponse à : Equations différentielles

    Bonjour Pierre-Louis,

    J’ ai quelques questions concernant les annales GIN FC :

    GIN FC 2014 :
    Exercice 2
    question 1 b :
    dans la correction pour la solution particulière tu écris directement h(x)=xe(-x), pourquoi ?
    en posant h(x)=Q(x)e(-x), je trouve h(x)=5xe(-x)

    GIN FC 2013 :
    Exercice 1
    dans la correction je ne comprends pas pourquoi on factorise par x2 les deux développements limités.
    vu qu’on cherche un DL à l’ordre 3 on devrait pouvoir directement se passer des termes en x4 et x5.

    J’espère que je suis suffisamment clair.

    Merci d’avance pour tes réponses.

    Cordialement,

    François

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    • Le 16 mars à 09:34, par Cayrel En réponse à : Equations différentielles

      Bonjour François,
      - Pour l’exercice 2 en GIN FC 2014, la correction "triche" dans le sens où je propose seulement de vérifier que h(x)=xe(-x). La méthode que tu utilises (poser h(x)=Q(x)e(-x)) est la bonne et devrait te donner le même résultat (à une constante près). Pour vérifier que ta solution est aussi une solution particulière (il y en a une infinité) il faut que tu réinjectes la solution que tu as trouvé dans l’équation de départ.
      - Pour l’exercice 1 en GIN FC 2013, si tu veux un DL à l’ordre 3 d’un quotient il ne suffit pas de faire un DL à l’ordre 3 du numérateur et du dénominateur (car des termes peuvent se simplifier et ton quotient ne sera plus de degré maximal 3 mais 1 ou 2). On voit qu’ici on peut factoriser le numérateur et le dénominateur par x2, ce qui veut dire que si on fait un DL d’ordre 3 en haut et en bas, en simplifiant par x2, on obtient un terme de degré 1 (et non 3). Il faut donc faire deux DL à l’ordre 5 pour qu’en simplifiant par x2 on obtienne un DL du quotient à l’ordre 3.
      J’espère que c’est clair ?
      Bon courage !

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