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Dérivées différentielles - cours

lundi 5 juillet 2010, par Cayrel

Dérivées/différentielles

cours :

exercices d’autonomie (corrigés) :

exercices de TD (corrigés) :

8 Messages de forum

# Dérivée de fonction composée Le 23 mars 2012 à 16:39 , par Cayrel

J’ai eu plusieurs questions sur la dérivation de fonctions composées, voici une réponse générale.

Théorème de dérivation des fonctions composées :

$(g \circ f)' = (g'\circ f) \cdot f'$

Quelles que soient les fonctions dérivables (et composables) $f\,$ et $g.$

Réciproque

$(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$
Quelle que soit la fonction $f\,$ bijective de réciproque $f^{-1}\,$ , dérivable de dérivée ne s’annulant en aucun point.
En particulier, voici les règles courantes se déduisant de la dérivée de composées :

Puissance : $(f^\alpha)^\prime = \alpha f^{\alpha-1}f',$ $\forall \alpha \in \mathbb Z$ , et même quel que soit $\alpha \in \mathbb R$ si $f$ est positive

Racine : $\left(\sqrt{\!f}\right)' = {f' \over 2\sqrt{\!f}},$ $\forall f\,$ dérivable et strictement positive (cas particulier $\alpha =\frac{1}{2}$ de la ligne précédente)

Exponentielle : $(\mbox{e}^f)^\prime = \mbox{e}^f\cdot f',$ $\forall f\,$ dérivable

Logarithme : $(\log_b f)^\prime = {f' \over f \cdot \ln b},$ $\forall f\,$ dérivable et strictement positive

Logarithme népérien : $(\ln f)^\prime = {f' \over f},$ $\forall f\,$ dérivable et strictement positive (cas ’’ $b=e$ ’’ de la ligne précédente)

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# Dérivées différentielles - cours Le 16 octobre 2012 à 17:41 , par Mendoza José

Bonjour
Il n’y a pas de lien donnant la correction des exercices de cours - Dérivées et différentielles ?

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- # Dérivées différentielles - cours Le 16 octobre 2012 à 18:20 , par Cayrel
  
  Bonjour,
  
  Effectivement, je ne fournis pour l’instant pas la correction de ces exercices.
  
  Il vous reste tout de même les deux documents d’autonomie pour préparer le TD.
  
  Bon courage,
  
  Pierre-Louis Cayrel
  
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# Dérivées différentielles - cours Le 25 octobre 2012 à 12:08 , par Mendoza José

Bonjour,

Pour la dérivée n ième de Sin(x), est-ce que sin( x - n.PI/2) peut-être validée ?
Parce que j’y arrive pas avec la récurrence, mais celle que vous donnez à la correction non plus..

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- # Dérivées différentielles - cours Le 25 octobre 2012 à 17:23 , par Cayrel
  
  Montrons que $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n \frac{\pi}{2}\right).$
  
  Procédons par récurrence sur $n.$
  Si $n =1 :$ on dérive une fois $\sin$ d’où $\cos x$ , on sait que $\cos x = \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ donc la formule est vraie pour $n = 1.$
  Supposons que la dérivée $n$ -ième de $\sin$ vaille $\sin \left(x+ n \frac{\pi}{2}\right)$ et démontrons que c’est vraie au rang $(n+1).$
  En dérivant la relation précédente, on trouve d’une part la dérivée $(n+1)$ -ième de $\sin$ et d’autre part $\left(\sin \left(x+n \frac{\pi}{2}\right)\right)'= \cos\left(x+n \frac{\pi}{2}\right)$ or nous avons $\cos\left(x+n \frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(x+ n\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x+ (n+1) \frac{\pi}{2}\right).$
  On a ainsi démontré que la relation est vraie au rang $(n+1).$
  Conclusion : la relation est vraie au rang 1 et dès qu’elle est vraie au rang $n$ elle l’est au rang suivant. Donc elle est vraie pour tout entier $n.$
  La dérivée $n$ -ième de $\sin$ a donc pour expression : $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+n \frac{\pi}{2}\right).$
  Ce qui correspond à :
  si $n \equiv 0 \pmod 4,$ $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+(4k+0) \frac{\pi}{2}\right)=\sin(x+2k\pi)=\sin x.$
  si $n \equiv 1 \pmod 4,$ $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+(4k+1) \frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+2k\pi+ \frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+ \frac{\pi}{2}\right)=\cos x$ .
  si $n \equiv 2 \pmod 4,$ $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+(4k+2) \frac{\pi}{2}\right)=\sin(x+2k\pi+ \pi)=\sin(x+ \pi)=-\sin x$ .
  si $n \equiv 3 \pmod 4,$ $\sin^{(n)}(x)=\sin\left(x+(4k+3) \frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+2k\pi+ \frac{3\pi}{2}\right)=\sin\left(x+ \frac{3\pi}{2}\right)=\sin\left(x- \frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$ .
  
  J’espère que cela répond à ta question (?)
  
  Répondre à ce message
  - # Dérivées différentielles - cours Le 25 octobre 2012 à 18:05 , par Mendoza José
    
    Ah oui très bien !!
    Merci !!
    
    Répondre à ce message
    - # Dérivées différentielles - cours Le 25 octobre 2012 à 21:39 , par Cayrel
      
      Un petit rappel des transformations remarquables (pour la route) :
      
      $\sin(2\pi + x) = \sin(x), \cos(2\pi + x) = \cos(x), \tan(2\pi + x) = \tan(x)$
      
      $\sin( -x) = - \sin(x), \cos( -x) = \cos(x), \tan( -x) = - \tan(x)$
      
      $\sin(\pi - x) = \sin(x), \cos(\pi - x) = - \cos(x), \tan(\pi - x) = - \tan(x)$
      
      $\sin(\pi + x) = - \sin(x), \cos(\pi + x) = - \cos(x), \tan(\pi + x) = \tan(x)$
      
      $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x), \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x), \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan(x)}$
      
      $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x), \cos(\frac{\pi}{2} + x) = - \sin(x), \tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\frac{1}{\tan(x)}$
      
      $\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = - \cos(x), \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = - \sin(x), \tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan(x)}$
      
      $\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = - \cos(x), \cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin(x), \tan(\frac{3\pi}{2} + x) = -\frac{1}{\tan(x)}$
      
      Répondre à ce message
# Dérivées différentielles - cours Le 13 novembre 2012 à 22:44 , par Cayrel
Plusieurs d’entre vous ont eux du mal avec les développements limités donnés en exercice. Je vais détailler ici la correction du DL de $\ln(\cos x)$ en 0 à l’ordre 6.

On rappelle les développements limités classiques suivants à l’ordre $n$ en 0 :

$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{n!}+x^n\epsilon(x)$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2!}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+x^n\epsilon(x)$
1. Première étape : On commence par remplacer $\cos(x)$ par son DL rappelé en début d’énoncé.
  
  $\ln(\cos(x))=\ln(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x))=\ln(1+X) \textrm{ avec } X=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x)$
  
  qui tend bien vers 0 lorsque $x$ tend vers 0.
2. Deuxième étape : On utilise maintenant le DL en 0 de $\ln(1 + X)$ .
  Comme la plus petite puissance de $x$ dans $X$ est en $x^2,$ il est suffisant de considérer le DL de $\ln(1 + X)$ jusqu’à l’ordre $3$ ( $X^3$ ) : au delà, les plus petites puissances seront en $x^8$ qui ne nous intéressent pas pour l’ordre 6 demandé par l’énoncé.
  
  $\ln(1+X)=X-\frac{X^2}{2}+\frac{X^3}{3}+x^3\epsilon(x)$
3. Troisième étape : On remplace dans l’expression précédente $X$ par sa valeur.
  
  $\ln(\cos x)=\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x)\right)-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x)\right)^2+\frac{1}{3}\left(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+x^7\epsilon(x)\right)^3+x^6\epsilon(x)$
Il reste maintenant à développer les puissances.

Notons que $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .$

Dans le terme $X^2,$ les puissances de $x$ plus petites que 6 proviennent :
du terme $-\frac{x^2}{2}$ multiplié par lui même (ce terme correspond à $a^2,$ donc pas de coefficient supplémentaire)
du terme $-\frac{x^2}{2}$ multiplié par $x^4 /24$ (ce terme correspond à $ab,$ donc coefficient supplémentaire de 2).

Notons que $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3.$

Dans le terme $X^3,$ les puissances de $x$ plus petites que 6 proviennent du terme $-\frac{x^2}{2}$ au cube (ce terme correspond à $a^3,$ donc pas de coefficient supplémentaire).

On a donc :

$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}-\frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right)+2\left(-\frac{x^2}{2}\right)\left(\frac{x^4}{24}\right)\right)+\frac{1}{3}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^3+x^6\epsilon(x)$

$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+x^6\epsilon(x)$

$\ln(\cos x)=-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^6}{45}+x^6\epsilon(x)$
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