Intégrales - cours

mardi 15 novembre 2011, par Cayrel

Cours sur les intégrales

Intégrales

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3 Messages de forum

# Table de primitives Le 1er avril 2012 à 18:39 , par Cayrel Pierre-Louis

Voici l’essentiel des primitives que vous devez connaître. Merci wikipédia

Primitives de fonctions rationnelles

$\int x^n\,\mathrm dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad \text{ si }\ n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \ln \left| x \right| + C \qquad \text{ si }\ x \ne 0$

$\int \frac{1}{x-a} \, \mathrm dx = \ln | x-a | + C \qquad \text{ si }\ x \ne a$

$\int \frac{1}{(x-a)^n} \, \mathrm dx = -\frac{(x-a)^{1-n}}{n-1} + C \qquad \text{ si }\ n \ne 1\ \text{ et }\ \ x \ne a$

$\int \frac{1}{1+x^2} \, \mathrm dx = \arctan(x) + C \qquad \forall x \in \mathbb{R}$

$\int \frac{1}{a^2+x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{a}\arctan{ \left( \frac{x}{a} \right) } + C \qquad \text{ si }\ a \ne 0$

$\int \frac{1}{1-x^2} \, \mathrm dx = \frac{1}{2} \ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C \qquad \text{ si }\ x \notin \{-1;1\}$

Primitives de fonctions logarithmes

$\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \text{ i.e. }\ x > 0,$

$\int \ln (x)\,\mathrm dx = x \ln (x) - x + C$

$\int \log_b (x)\,\mathrm dx = x \log_b (x) - x \log_b (e) + C$

Plus généralement, une primitive $n$ -ième de

$\ln (x)$

est donnée par :

$\frac{x^n}{n!} \left( \ln (x) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) + P_{n-1}(x)$

avec $P_{n-1}(x)$ un polynôme de degré

$n-1$

Primitives de fonctions exponentielles

$\forall x \in \mathbb{R},$

$\int e^x\,\mathrm dx = e^x + C$

$\int a^x\,\mathrm dx = \frac{a^x}{\ln (a)} + C \qquad \text{ si }\ a > 0$

Primitives de fonctions irrationnelles

$\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-1;1\}, \text{ i.e. }\ x \ne -1\ \text{ et }\ x \ne 1,$

$\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \arcsin (x) + C$

$\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \arccos (x) + C$

$\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \mathrm dx = \sqrt{x^2-1} + C$

# Intégrales - cours Le 13 novembre 2012 à 19:25 , par Cayrel

Plusieurs d’entre vous n’ont pas bien compris comment on mesure la longueur d’un arc de cercle intercepté ( $rd\theta$ dans le cours).

Je vous invite à lire ce document : http://www.hexomaths.fr/fichiers/Ra...

# Intégrales - cours Le 13 novembre 2012 à 19:31 , par Cayrel

Concernant le calcul du volume d’une boule à l’aide d’une intégrale triple, je vous invite à visionner l’animation et l’explication de la page suivante : http://www.uqac.ca/calcul/chap7/Coo...

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