Slides du cours : 
Exercices du cours :
Cours de complexes
Table des matières
1 Définitions et propriétés immédiates
1.1 Définition historique
1.1.1 À l'origine
1.1.2 Nombre complexe
1.1.3 Utilité
1.2 Définition mathématique
1.2.1 Définition stricte
1.2.2 Légitimité et utilité de l'écriture z = a + bi
1.2.3 Propriétés des opérations sur les complexes
1.2.4 Définitions associées
2 Représentation graphique et notations
2.1 Représentation en coordonnées cartésiennes
2.2 Représentation en coordonnées polaires
2.3 Identification aux vecteurs
2.4 Notation exponentielle
3 Opérations sur les complexes
3.1 dans leurs différentes représentations
3.1.1 Cartésienne
3.1.2 Trigonométrique
3.1.3 Exponentielle
3.1.4 Vectorielle
3.1.5 Graphique
3.2 Multiplication par un complexe de module 1
3.2.1 Multiplication par i
3.2.2 Cas général
3.3 Puissances d'un nombre complexe
3.4 Racines nièmes d'un nombre complexe
3.5 Formules d'Euler et lignes trigonométriques
4 Applications en physique
4.1 Représentation de Fresnel d'une grandeur sinusoïdale
4.2 Application au dipôle RL série
1 Définitions et propriétés immédiates
1.1 Définition historique
1.1.1 À l'origine
L'idée de départ fut de créer des nombres non réels, dits "imaginaires", solutions d'équations du second degré dont le discriminant est négatif, dans lesquelles on pourrait envisager d'écrire la racine carrée d'un nombre négatif. De nos jours, on appelle "complexes" ces nombres.
C'est ainsi qu'au XVIème siècle (vers 1545) les mathématiciens italiens Bombelli et Cardan ont eu l'idée d'introduire le nombre i tel que :
i2 = −1, i et −i étant les solutions de l'équation x2 + 1 = 0.
Le symbole i fut choisi pour
imaginaire. Il représente, d'après l'équation ci-dessus, une "racine carrée de −1". La notion de racine carrée doit alors être employée avec un certain recul :
La racine carrée d'un réel positif B est l'unique réel positif b tel que b
2 = B.
Exemple :
La "racine carrée" d'un réel négatif B est l'imaginaire bi qui, mis au carré, donne B.
(bi)2 = b2i2 = −b2 = B (de même que (−bi)2 = (−1)2b2i2 = b2i2 = B).
bi et −bi sont, en ce sens, les deux racines carrées du réel négatif B.
|
√B = ± |
√
|
(−(−B))
|
= ± |
√
|
(−1)
|
. |
√
|
(−B)
|
= ±i |
√
|
(−B)
|
. |
|
Exemple :
|
|
√
|
(−25)
|
= ± |
√
|
(−1)
|
|
√
|
25
|
= ±5i ; |
√
|
(−2)
|
= ± |
√
|
(−1)
|
√2 = ±i√2 |
|
Aucun des imaginaires i, −i, 2i, −2i, bi ou −bi ne peut être déclaré positif ou négatif.
Cette notion n'a tout simplement pas de sens dans l'ensemble des nombres imaginaires.
1.1.2 Nombre complexe
Une racine carrée d'un nombre négatif, de forme b×i où b est un réel, est aujourd'hui appelée imaginaire pur.
La somme d'un réel a et d'un imaginaire pur bi forme ce qu'on appelle un nombre complexe z :
(si tant est que cette pseudo- addition, entre deux objets de natures différentes, ait un sens...)
Les calculs avec les nombres complexes permettent :
- D'écrire les solutions de toutes les équations du second et du troisième degré
- De simplifier certaines écritures, notamment trigonométriques
- De résoudre certaines équations différentielles
- D'écrire sous forme de calculs des résultats et des fonctions géométriques
- De simplifier les calculs traditionnels notamment en électricité, mécanique, automatisme, etc.
- Lorsque les physiciens utilisent ces nombres, il y a risque de confusion avec l'intensité i du courant électrique,
aussi en physique utilisera-t-on le symbole j en lieu et place de i : j2 = −1
1.2 Définition mathématique
1.2.1 Définition stricte
Tout nombre complexe est tout couple - donc ordonné - (a , b) de nombre réels. a est sa partie réelle et b sa partie imaginaire.
On décide que
|
(a1,b1 ) = (a2 ,b2 ) ⇔ a1 = a2 et b1 = b2 |
|
On munit l'ensemble des nombres complexes, noté \mathbbC, de deux "lois de composition internes", à savoir ici une addition, notée +, et une multiplication, notée ×, définies comme suit :
|
(a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2) et (a1,b1)×(a2,b2)=(a1a2−b1b2,a1b2+b1a2) |
|
1.2.2 Légitimité et utilité de l'écriture z = a + bi
Supposons qu'on se permette d'écrire le complexe z = (a, b) sous la forme z = a + bi (on se permet donc d'additionner des choux et des carottes).
L'égalité a
1+b
1i = a
2+b
2i signifie, d'après la définition ci-dessus : a
1=a
2 et b
1=b
2.
L'addition donne :
|
(a1+b1i)+(a2+b2i)=a1+a2+(b1+b2)i. |
|
Ceci vérifie la définition mathématique de l'addition.
La multiplication donne :
|
z1 ×z2 = (a1+b1i)×(a2+b2i)=a1a2+a1+b2i+b1ia2+b1b2i2=a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)i. |
|
Ceci vérifie également la définition mathématique du produit de deux complexes.
L'écriture z = a + bi est équivalente à la définition mathématique d'un nombre complexe dans ses propriétés algébriques, si on lui associe le fait que i
2 = −1.
On peut voir en particulier que les nombres complexes (a, 0) de partie imaginaire nulle sont assimilables aux nombres réels a. L'imaginaire pur bi est le complexe (0, b) et i, quant à lui, s'écrit 0 + 1i et est donc le complexe (0, 1).
On utilisera dans un premier temps l'écriture z = a + bi pour mener à bien des calculs sur les nombres complexes.
1.2.3 Propriétés des opérations sur les complexes
L'
addition est :
- associative :
- commutative :
Elle admet le complexe nul (0, 0) comme
élément neutre.
Il "est" donc le réel 0 dans la notation x + iy.
La
multiplication est :
- associative :
|
(z1 ×z2) ×z3 = z1 ×(z2 ×z3) |
|
- commutative :
- distributive sur l'addition :
|
(z1 + z2) ×z3 = z1 ×z3 + z2 ×z3 |
|
Elle admet un
élément neutre : (1, 0), assimilable au réel 1.
Ainsi qu'un
élément absorbant : (0, 0), assimilable au réel 0.
1.2.4 Définitions associées
Soit un nombre complexe z = a + bi ,
- son conjugué est le nombre complexe :
Propriétés :
- z + ―z = 2a c'est un nombre réel
- z − ―z = 2bi c'est un nombre imaginaire pur
- z ×―z = a2 + b2 c'est un nombre réel positif.
- son opposé est le nombre complexe :
Soustraire un complexe, c'est ajouter son opposé.
- son inverse est le nombre complexe :
(tentez de démontrer cette seconde égalité)
Diviser par un complexe, c'est multiplier par son inverse.
Notez : comme dans l'ensemble des réels, le complexe nul est l'unique élément qui ne possède pas d'inverse.
- son module est le nombre réel positif :
2 Représentation graphique et notations
2.1 Représentation en coordonnées cartésiennes
Nous considérons un repère orthonormé (O, Ox, Oy). À tout point M de coordonnées (a ; b) correspond de manière unique le nombre complexe z = (a, b) = a + bi.
Le plan est isomorphe à l'ensemble des complexes, si bien que nous pourrons l'appeler
le plan complexe.
Nous dirons que M est l'
image du nombre complexe z et que z est l'
affixe du point M
Résultats immédiats (voir figure au-dessous) :
- Le point O est l'image de z = 0 ;
- Les points de l'axe Ox sont les images des nombres réels (z = a).
(Ox) est appelé l'axe "réel"
- Les points de l'axe Oy sont les images des nombres imaginaires purs (z = bi)
(Oy) est appelé l'axe "imaginaire"
- Les images de z et −z (opposés) sont symétriques par rapport à O.
- Les images de z et ―z (conjugués) sont symétriques par rapport à (Ox).
2.2 Représentation en coordonnées polaires
Dans le plan il est aussi possible de définir M par ses coordonnées polaires : ρ et θ
Liens avec la représentation cartésienne :
En observant les représentations dans le plan, on peut à partir du module et de l'argument calculer
les parties réelle et imaginaire : a = ρcosθ et b = r sinθ
On définit ainsi l'écriture trigonométrique d'un nombre complexe z = (ρ,θ) (forme polaire) :
Remarque : un complexe est nul si et seulement si r = 0.
En effet, aucune valeur de q ne peut rendre z nul si r ne l'est pas.
On s'aperçoit que ρ = a
2 + b
2 = z, module de z.
Quant à θ, mesure de l'angle orienté (O
→x,O
→M), modulo 2π, il se nomme
argument de z,
arg(z).
On a en particulier : tan(θ)=[b/a]
Opposé et conjugué :
|
−z = −ρ(cosθ+ i sinθ) = ρ(−cosθ−i sinθ) = ρ(cos(θ+π) + i sin(θ+π)) |
|
Donc :
|
|−z| = ρ = |z| et arg(−z) = θ+ π = arg(z) + π |
|
|
|
-
z
|
= ρ(cosθ−i sinθ) = ρ(cos(−θ) + i sin(−θ)) |
|
Donc :
|
| |
-
z
|
| = |z| et arg(z) = −arg(z) |
|
2.3 Identification aux vecteurs
On notera aussi qu'au nombre complexe z = (a, b) correspond le vecteur
On note que ρ = √{a
2 + b
2} = | z| = ||O
→M|| = OM
et que θ =
arg(z) = (O
→x,O
→M).
Soustrayons les deux complexes z et z′ affixes de deux points M et M′ :
|
z ′− z = (a ′− a) + i (b ′−b). |
|
Or
M
→M′ = ( a′−a b′−b ).
- z′− z est donc le représentant du vecteur M→M′,
- module : | z′− z | = MM′
- argument : arg(z ′− z ) = (O→x,M→M′)
2.4 Notation exponentielle
On montre (voir ci après) qu'un nombre complexe peut aussi être écrit sous forme exponentielle
(travaux d'Euler, Mathématicien Suisse 1707-1783) :
Cette dernière notation permet de simplifier de nombreux calculs.
On peut la démontrer comme suit à partir de la notation trigonométrique :
Dérivons z par rapport à θ:
|
|
dz
dθ
|
=ρ(−sin(θ) + icos(θ)) |
|
Mettons i en facteur :
|
|
dz
dθ
|
=iρ(isin(θ) + cos(θ))=iz |
|
Ainsi on a : z′ = iz, sans oublier que pour θ = 0 , z = ρ.
Ceci est une équation différentielle du 1er ordre dont la solution est
z = ρe
iθ.
3 Opérations sur les complexes
3.1 dans leurs différentes représentations
3.1.1 Cartésienne
Addition et soustraction
|
z1 + z2 = (a1 + a2 ) +(b1 + b2)i |
|
|
z2 − z1 = (a2 − a1 ) + (b2 −b1)i |
|
Multiplication et division
|
z1 ×z2 = (a1+b1i)×(a2+b2i) = a1a2−b1b2+(a1b2+a2b1)i. |
|
|
|
z2
z1
|
= |
(a1a2+b1b2)+(a1b2−b1a2)i
a12+b12
|
. |
|
3.1.2 Trigonométrique
Addition et soustraction
|
z1+z2 = [ρ1cos(θ1)+ρ2cos(θ2)]+i[ρ1sin(θ1)+ρ2sin(θ2)] |
|
aucune simplification possible, ni avec la soustraction
Multiplication
|
z1 ×z2 = ρ1ρ2[(cosθ1cosθ2−sinθ1sinθ2)+(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)i] |
|
ainsi : |z
1z
2| = |z
1|×|z
2| et
arg(z
1z
2) =
arg(z
1) +
arg(z
2).
Division
|
|
z2
z1
|
= |
ρ1ρ2(cos(θ2−θ1)+sin(θ2−θ1)i)
(ρ1cosθ1)2+(ρ1sinθ1)2
|
= |
ρ2
ρ1
|
(cos(θ2−θ1)+sin(θ2−θ1)i) |
|
ainsi : |[(z
2)/(z
1)]|=[(|z
2|)/(|z
1|)] et
arg([(z
2)/(z
1)]) =
arg(z
2) −
arg(z
1).
3.1.3 Exponentielle
Addition et soustraction
aucune simplification possible, ni avec la soustraction
Multiplication
|
z1×z2 = ρ1eiθ1ρ2eiθ2 = ρ1ρ2ei(θ1+θ2) |
|
d'où les résultats obtenus avec la forme trigonométrique
Division
|
|
z2
z1
|
= |
ρ2eiθ2
ρ1eiθ1
|
= |
ρ2
ρ1
|
ei(θ2−θ1) |
|
d'où les résultats obtenus avec la forme trigonométrique
3.1.4 Vectorielle
Addition
z1 + z2 représente le vecteur O→M1 +O→M2
Soustraction
z2 − z1 représente le vecteur M→1M2
Multiplication
|
( |
→
O
|
x, |
→
O
|
N) = ( |
→
O
|
x, |
→
O
|
M1) + ( |
→
O
|
x, |
→
O
|
M2) |
|
Division
|
( |
→
O
|
x, |
→
O
|
N) = ( |
→
O
|
x, |
→
O
|
M2) − ( |
→
O
|
x, |
→
O
|
M1) = ( |
→
O
|
M1, |
→
O
|
M2) |
|
Addition
Soustraction
Multiplication
Division
3.2 Multiplication par un complexe de module 1
3.2.1 Multiplication par i
Considérons les deux nombres complexes écrits sous leur forme géométrique polaire : z = (ρ,θ)
et i=(1,[(π)/2]) ou encore sous leur forme exponentielle :
Formons leur produit :
|
iz = (1, |
π
2
|
)×(ρ,θ) = (ρ, θ+ |
π
2
|
) |
|
(voir aussi avec l'écriture exponentielle)
Le module de iz est égal à celui de z mais son argument est augmenté de [(π)/2].
Ainsi le point image M′ de iz se déduit du point image M de z par une rotation de centre O et d'angle de rotation
[(π)/2].
Exemple : Quelles sont les coordonnées de B, image du point A(5 ; 2) par la rotation de centre O
et d'angle 90
° ?
|
zB = izA=i(5+2i)=−2+5i donc B = (−2,5) |
|
3.2.2 Cas général
|
z0×z = (1,θ0) ×(ρ,θ) = (ρ,θ+θ0) |
|
M′(z
0z) se déduit du point M(z) par la rotation de centre O et d'angle θ
0.
Exemple : Quelles sont les coordonnées de B, image du point A(5 ; 2) par la rotation de centre O
et d'angle 60
° ?
Il faut multiplier z
A par le complexe (1,[(π)/3])=cos([(π)/3])+isin([(π)/3])=[1/2]+i[(√3)/2]:
|
zB=(5+2i)( |
1
2
|
+i |
√3
2
|
)=( |
5
2
|
−√3)+i( |
5√3
2
|
+1) |
|
Donc
3.3 Puissances d'un nombre complexe
Considérons le nombre complexe : z = ρ(cosθ+ i sinθ) = (ρ,θ)
Nous voulons calculer :
|
zn = [ρ(cosθ+ i sinθ)]n = (ρ,θ)n |
|
Il suffit d'appliquer n fois l'opération de multiplication. On obtient
|
zn = [ρ(cosθ+ i sinθ)]n = (ρ,θ)n = (ρn , nθ). |
|
(voir aussi avec l'écriture exponentielle)
Ainsi nous obtenons la
formule de Moivre :
|
(cosθ+ isinθ)n = cosnθ+ isinnθ. |
|
Cette formule permet d'obtenir les formules trigonométriques exprimant cos(nθ), sin(nθ), tan(nθ)
en fonction de cos(θ), sin(θ), tan(θ).
3.4 Racines nièmes d'un nombre complexe
Soit le nombre complexe : z = ρ(cosθ+ i sinθ) = (ρ,θ) et n un entier naturel. On appelle racine nième de z tout nombre complexe w tel que w
n = z.
Nous pouvons écrire w = r(cosα+ i sinα) = (r,α) , puis appliquer la formule de Moivre (vue précédemment) à l'équation w
n = z.
On obtient :
Comme ρ est positif on a quel que soit n:
|
| ⎢
⎢
|
r= | n
√
|
ρ
|
α = |
θ
n
|
+ 2 |
k
n
|
π |
|
A chaque valeur de l'entier k entre 0 et n−1 correspond un angle α particulier, donc un point du plan particulier et un nombre complexe w particulier.
Cependant, à deux valeurs de k distantes de n (k
2 = k
1 + n) correspondent deux valeurs de α distantes de 2π soit le même nombre complexe !
On a donc n solutions distinctes à l'équation
w
n = z :
|
| ⎢
⎢
|
r= | n
√
|
ρ
|
α = |
θ
n
|
+ 2 |
k
n
|
π, k entier ∈ [0,n−1] |
|
Les points images dans le plan complexe de ces n solutions sont les sommets d'un polygône régulier à n côtés centré sur l'origine O.
Exemple graphique des racines sixièmes de z=64e
i[(3π)/4], qui sont les complexes w
k de module
6√{64} = 2 et d'arguments α
k=[(π)/8] + [k/6]2π, k entier valant de 0 à 5 :
Étudions dans le cas général la somme S de ces n racines :
|
wk=( | n
√
|
ρ
|
, |
θ
n
|
+ |
k
n
|
2π), 0 ≤ k ≤ n−1 et S= |
n−1
∑
k=0
|
wk |
|
Soit le complexe u=(1,[(2π)/n]). Calculons le produit uw
k:
|
uwk = (1, |
2π
n
|
) ×( | n
√
|
ρ
|
, |
θ
n
|
+ 2 |
k
n
|
π)=( | n
√
|
ρ
|
, |
θ
n
|
+ 2 |
k+1
n
|
π)=wk+1. |
|
Nous pouvons alors calculer le produit u.S :
|
u.S = u |
n−1
∑
k=0
|
wk = |
n−1
∑
k=0
|
u.wk= |
n−1
∑
k=0
|
wk+1=S |
|
car wn=w0 (vérifiez-le).
Ainsi nous pouvons écrire : S(u −1) = 0. Or u=(1,[(2π)/n]) ≠ 1 ⇔ u−1 ≠ 0.
Donc, pour que l'égalité précédente soit vérifiée on a nécessairement S = 0.
La somme des n racines nièmes d'un nombre complexe quelconque est nulle :
3.5 Formules d'Euler et lignes trigonométriques
La notation exponentielle d'un nombre complexe de module 1, e
ix = cos(x) + i sin(x) = (1, x) ,
donnera les
formules d'Euler. Il vient en changeant x en −x : e
−ix = cos(x) − i sin(x) = (1,−x).
Additionnons puis soustrayons membre à membre ces deux expressions. Nous obtenons deux expressions pour les fonctions trigonométriques usuelles, les deux formules d'Euler :
Note : On peut alors écrire
|
cosn(x)=( |
eix + e−ix
2
|
)n= |
1
2n
|
(eix + e−ix)n, |
|
qui, une fois développé puis ses termes réorganisés, aboutit à des combinaisons de fonctions trigonométriques au premier degré d'angle double, triple, etc.
Par de tels procédés, on retrouve très facilement toutes les formules usuelles de trigonométrie.
4 Applications en physique
4.1 Représentation de Fresnel d'une grandeur sinusoïdale
Considérons la fonction sinusoïdale suivante : U (t ) = Asin(ωt + ϕ) d'amplitude A et de pulsation ω.
Dans le plan xOy, à chaque valeur de t correspond un vecteur O
→M(t) d'affixe un complexe z(t) de module A et d'argument ωt + ϕ.
Lorsque t augmente à vitesse constante (le temps le fait...), le vecteur O
→M(t) décrit une rotation à la vitesse angulaire (pulsation) constante ω.
La valeur U(t) de la fonction U est ici l'ordonnée du point M(t) et oscille entre −A et A à un rythme sinusoïdal.
Dans chaque quart de cercle (délimité par les axes), l'angle moyen parcouru vaut π/4 et donc la valeur moyenne de U(t) vaut, en valeur absolue, Asin(π/4) = [A/(√2)], valeur efficace du signal.
Cette représentation permet de composer des vibrations sinusoïdales de même pulsation (ou fréquence) ou d'observer le déphasage entre deux signaux (écart d'angle entre les deux vecteurs correspondants).
Il s'agit de la représentation de Fresnel (physicien Français 1788 - 1827).
4.2 Application au dipôle RL série
La figure ci-dessous représente un dipôle RL série avec le diagramme de Fresnel correspondant.
Le courant et la tension aux bornes de la résistance sont en phase.
L'inductance déphase le courant de 90
° en arrière de la tension à ses bornes. Enfin on peut écrire les relation suivantes :
On notera que l'effet inductif est de déphaser la tension en avance de [(π)/2] par rapport au courant.
On se souvient que la multiplication par le nombre complexe j (pour ne pas confondre avec le courant) conduit à rotation de +[(π)/2].
Ainsi, nous pouvons exprimer les grandeurs électriques sous forme complexe :
Il vient alors :
|
u = uR +uL = Ri + jLωi = (R+jMω)i |
|
Ainsi si nous appelons z l'impédance complexe de ce dipôle nous avons :
Vous montrerez de même que l'impédance complexe d'une capacité C est :
On notera que les règles de calcul d'impédances composées sont les mêmes qu'en courant continu !
En série, les impédances complexes s'additionnent.
En parallèle, les inverses d'impédances (admittances) s'additionnent.
Vous pouvez poser vos questions, commentaires, remarques à propos de ce cours, en bas de cette page.
File translated from
TEX
by
TTHgold,
version 4.00.
On 26 Oct 2011, 14:40.
RSS 2.0