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Cours sur les équations différentielles
Table des matieres
1 Présentation générale
1.1 Notion d'équation différentielle
1.2 Définitions
1.2.1 Définition du Petit Larousse
1.2.2 Définitions Mathématiques
2 Équations différentielles du 1er ordre
2.1 Équations différentielles dont le 1er membre est une différentielle
2.2 Équations différentielles à variables séparées
2.3 Équations différentielles homogènes
2.3.1 Intégration à l'aide d'un paramètre
2.3.2 Intégration en coordonnées polaires
2.4 Équations différentielles linéaires du premier ordre
2.4.1 Équation homogène
2.4.2 Variation de la constante
2.5 Équation de Bernoulli (Jacob)
2.6 Équation de Ricatti
3 Equations différentielles du 2d ordre
3.1 Équations différentielles du 2d ordre se ramenant au 1er ordre
3.1.1 Équation différentielle de la forme f (x, y′, y") = 0
3.1.2 Équation différentielle de la forme f ( y, y′, y") = 0
3.2 Équations différentielles linéaire du 2d ordre à coefficients constants
3.2.1 Équation homogène
3.2.2 Équation avec second membre ay" + by′+ cy = g(x)
3.2.3 Équation avec second membre polynomial
3.2.4 Équation avec second membre de la forme emx f (x)
1 Présentation générale
1.1 Notion d'équation différentielle
On rencontre des équations différentielles dans toutes les branches des sciences. Voici quelques exemples de lois physiques qui donnent lieu à l'écriture d'équations différentielles :
- en mécanique lorsque l'on écrit F = mγ avec γ = [(d2x)/(dt2)], on veut connaître l'expression de la position x d'un corps en fonction du temps t, alors qu'on n'en connaît que la dérivée seconde.
- en électricité : uL=L[di/dt] mais aussi en thermodynamique, chimie, etc. ...
Nous ne traiterons ici que des équations différentielles du 1er et du 2ème ordre et dans certains cas au-delà desquels leur résolution analytique est le plus souvent impossible. L'ingénieur doit alors avoir recours à des moyens de calcul électroniques.
Il n'en reste pas moins que l'établissement desdites équations pour modéliser un phénomène physique, économique, organisationnel, est l'étape critique à laquelle il faudra apporter le plus grand soin.
1.2 Définitions
1.2.1 Définition du Petit Larousse
Une équation différentielle est une équation liant une fonction, une ou plusieurs de ses dérivées successives et la variable.
1.2.2 Définitions Mathématiques
On se bornera ici aux fonctions d'une variable réelle définies sur un intervalle I de \mathbbR, et à valeurs dans \mathbbR.
Une
Équation différentielle est une équation
(E)dont l'inconnue
y est une fonction.
Cette équation peut faire intervenir :
- La variable, en général x
- L'inconnue, en général y
- Les dérivées successives de y, jusqu'à un certain ordre n.
(E), équation différentielle d'ordre n, se ramène à la forme :
|
F(x,y,y′,y",y(n−1),y(n) = 0. |
|
Dire que la fonction f d'une variable réelle, définie et n fois dérivable sur un intervalle I, est une solution - ou intégrale - de (E), c'est dire que la fonction :
|
x→ F(x, f(x), f′(x), f"(x),..., f(n−1)(x), f(n)(x)) |
|
est définie sur I et coïncide sur I avec la fonction nulle.
Équation différentielle du 1er ordre :
Équation différentielle du 2d ordre :
Exemple d'équation différentielle du 1er ordre :
Exemple d'équation différentielle du 2d ordre :
Une équation différentielle est dite linéaire lorsqu'elle peut se ramener à la forme :
|
a0(x)y+a1(x)y′+a2(x)y"+…+an(x)y(n)=f(x) (E) |
|
Son équation homogène associée est :
|
a0(x)y+a1(x)y′+a2(x)y"+…+an(x)y(n)=0 (E.H.) |
|
2 Équations différentielles du 1er ordre
2.1 Équations différentielles dont le 1er membre est une différentielle
Ce sont les équations différentielles qui peuvent être mise sous la forme suivante :
Nous pouvons écrire cette équation sous la forme suivante :
|
|
∂U(x,y)
∂x
|
+ |
∂U(x,y)
∂y
|
y′=0 |
|
donc
|
|
∂U(x,y)
∂x
|
+ |
∂U(x,y)
∂y
|
|
dy
dx
|
=0 |
|
On rappelle que la notation différentielle de la dérivée première est une fraction. On peut donc multiplier les deux membres de cette équation par dx, ainsi on obtient :
|
|
∂U(x,y)
∂x
|
dx+ |
∂U(x,y)
∂y
|
dy=0 |
|
c'est à dire dU = 0
On obtient ainsi la forme différentielle de U qui est égale à 0 pour tout couple (x, y),
donc U est une fonction constante : U(x, y) = Cste
Exemple :
En divisant ses termes par x, on obtient 2x−[y/(x
2)]+[1/x]y′=0, ou encore (2x−[y/(x
2)])dx+[1/x]dy=0.
Testons si les deux termes apparus peuvent être les dérivées partielles premières d'une même fonction U des deux variables x et y :
Il faut [(∂U(x,y))/(∂x)]=2x−[y/(x
2)]⇒ U(x,y)=x
2+[y/x]+f(y).
Il faut aussi [(∂U(x,y))/(∂y)]=[1/x] (E), or la forme obtenue à la ligne précédente nous donne [(∂U(x,y))/(∂y)]=[1/x]+f′(y).
Pour que U corresponde, il faut que pour tout y, f ′(y) = 0, donc que f soit constante.
Ainsi U existe et U(x,y)=x
2+[y/x]+Cste.
Et comme dans ce contexte du cours U est forcément une fonction constante, il vient :
On en déduit la famille d'intégrales suivantes pour (E) : y = Kx − x
3
2.2 Équations différentielles à variables séparées
On appelle équation différentielle à variables séparables toute équation différentielle qui peut se mettre sous la forme :
À l'aide de l'écriture différentielle, on place x et y de part et d'autre de l'égalité :
On intègre donc séparément deux fonctions, l'une de variable y, l'autre de variable x :
|
| ⌠
⌡
|
P( y)dy = | ⌠
⌡
|
Q(x)dx + K K = Cste |
|
Exemple 1 : x + yy′ = 0
Cette équation s'écrit : x.dx + y.dy = 0, donc y.dy = −x.dx.
On intègre :
|
| ⌠
⌡
|
y dy = − | ⌠
⌡
|
x dx + K ⇔ |
y2
2
|
= − |
x2
2
|
+ K, |
|
Ce qui s'écrit plus simplement sous la forme x
2 + y
2 = K
Remarque : on reconnaît l'équation du cercle pour une constante K positive.
Exemple 2 :
Cette équation s'écrit :
Nous pouvons intégrer :
|
| ⌠
⌡
|
dy = | ⌠
⌡
|
(4x3 − 3x2 +1)dx + K |
|
d'où la famille d'intégrales :
2.3 Équations différentielles homogènes
On appelle équation différentielle homogène (du premier ordre) toute équation différentielle qui peut se mettre sous la forme :
2.3.1 Intégration à l'aide d'un paramètre
On démontre que l'une des courbes intégrales d'une équation différentielle homogène admet au point M situé sur la droite y = tx une tangente dont le coefficient directeur est f(t).
C'est au moyen du paramètre t que l'on peut représenter paramétriquement les solutions de l'équation différentielle.
On pose donc t = [y/x] ⇔ y=tx d'où la forme différentielle : dy = xdt + tdx
On a d'autre part : [dy/dx]=f(t) ⇔ dy=f(t)dx
En écrivant l'égalité de ces deux expressions de dy il vient :
|
xdt + tdx = f (t)dx soit encore : xdt = ( f (t) − t)dx |
|
Il s'agit alors d'une équation à variables séparables :
|
|
dx
x
|
= |
dt
f(t)−t
|
⇒ ln|x|= | ⌠
⌡
|
|
dt
f(t)−t
|
+K ⇒ x(t)=λe∫[dt/(f(t)−t)],λ = Cste. |
|
En notant G(t)=e
∫[dt/(f(t)−t)] on obtient alors une représentation paramétrique des intégrales de ce type d'équation :
|
G(t)=e∫[dt/(f(t)−t)] { x=λG(t) y=λt G(t) λ = Cste |
|
Exemple 1 :
|
(E)⇔ y′= |
dy
dx
|
= |
y2
x(2y−x)
|
= |
|
= |
t2
2t−1
|
, donc dy= |
t2
2t−1
|
dx |
|
Or en posant t=[y/x]⇔ y=tx et en différenciant y, on a : dy = tdx + xdt.
D'où en écrivant l'égalité sur dy :
|
tdx + xdt = |
t2
2t−1
|
dx ⇔ |
t2−t
2t−1
|
dx = xdt ⇔ |
dx
x
|
= |
2t−1
t2−t
|
dt |
|
Nous faisons un changement de variable au second membre :
|
u=t2−t du=(2t−1)dt } ⇒ |
dx
x
|
= |
du
u
|
⇒ ln|x|=−ln|u|+K ⇒ x= |
λ
u
|
|
|
D'où la représentation paramétrique de la famille d'intégrales :
En éliminant t on obtient l'équation en coordonnées cartésiennes :
|
y= |
λ
|
⇔ |
y2
x
|
−y=λ⇔ y2−xy−λx=0 |
|
Exemple 2 :
Vous trouverez
|
x=λe[(t2)/2] y = λte[(t2)/2] } |
x
λ
|
> 0 |
|
soit l'équation cartésienne
avec [x/(λ)] > 1
2.3.2 Intégration en coordonnées polaires
Nous posons le changement de variables suivant :
|
x=rcosθy = rsinθ } y′=f( |
y
x
|
)⇔ |
dy
dx
|
=f(tanθ) |
|
Nous avons les formes différentielles suivantes :
Nous pouvons écrire l'égalité des deux expressions de [dy/dx]
|
|
dy
dx
|
= |
sinθdr+rcosθdθ
cosθdr−rsinθdθ
|
= f(tanθ) |
|
|
sinθdr+rcosθdθ = f(tanθ)(cosθdr−rsinθdθ) |
|
Ceci est équation différentielle à variables séparables. On peut l'écrire et la résoudre sous la forme :
|
|
dr
r
|
= |
f(tanθ)sinθ+cosθ
f(tanθ)cosθ−sinθ
|
dθ = g(θ)dθ |
|
Exemple :
Cette équation s'écrit :
|
y′= |
x′+y
x−y
|
= |
cosθ+sinθ
cosθ−sinθ
|
|
|
or on sait que
|
y′= |
sinθdr+rcosθdθ
cosθdr−rsinθdθ
|
|
|
soit en mettant au même dénominateur puis en simplifiant :
Cela donne la famille des intégrales en coordonnées polaires :
Note : ce sont des spirales logarithmiques.
2.4 Équations différentielles linéaires du premier ordre
On appelle équation différentielle linéaire (du premier ordre) toute équation différentielle qui peut se mettre sous la forme :
A(x) et B(x) sont deux fonctions de la variable réelle x, définies et continues sur un même intervalle.
L'équation homogène associée à (E) est :
Théorème :
La forme générale des solutions de (E) est la somme :
- de la forme générale des solutions de (E.H.), yH
- et d'une solution particulière quelconque de (E), yP
2.4.1 Équation homogène
On décompose le problème en traitant d'abord l'équation sans second membre.
L'équation homogène : y′+ A(x) y = 0 s'écrit : [dy/y]=−A(x) dx.
Intégrons les deux membres de cette équation : ln|y| = −∫A(x)dx + K
ce qui donne les solutions de l'équation homogène de la forme :
2.4.2 Variation de la constante
Cherchons maintenant une solution particulière y
P de (E).
On admet qu'une solution de (E) peut s'écrire :
(toute fonction peut s'écrire ainsi, il suffit de bien choisir λ(x)...)
Substituons cette expression de y dans l'équation, il vient :
|
[λ(x) e−∫A(x)dx]′+A(x)λ(x) e−∫A(x)dx=B(x) |
|
Soit encore en développant :
|
[λ′(x) e−∫A(x)dx+λ(x)(−A(x) e−∫A(x)dx)]+A(x)λ(x) e−∫A(x)dx=B(x) |
|
Cette expression se simplifie ainsi :
|
λ′(x) e−∫A(x)dx=B(x)⇔ λ′(x)=B(x)e+∫A(x)dx |
|
D'où une solution de l'expression de λ(x) : (prenons la plus simple, sans constante additive)
|
λ(x)= | ⌠
⌡
|
(B(x)e+∫A(x)dx)dx |
|
Exemple : résoudre l'équation
- Equation homogène :
|
y′+ |
y
x
|
=0⇔ dy+ |
y
x
|
dx=0⇔ |
dy
y
|
=− |
dx
x
|
|
|
|
⇔ ln|y|=−ln|x|+Cste ⇔ yH= |
λ
x
|
|
|
- Solution particulière de (E) : posons y=[(λ(x))/x]. Cette fonction vérifie (E) ssi
|
( |
λ(x)
x
|
)′+ |
λ(x)
x2
|
=3x+2⇔ |
λ′(x)x−λ(x)
x2
|
+ |
λ(x)
x2
|
=3x+2 |
|
(λ′ est intégrée sans constante additive car on ne veut qu'une solution particulière)
Cela nous donne :
- Ainsi la solution générale de (E) est :
2.5 Équation de Bernoulli (Jacob)
On appelle équation différentielle de Bernoulli toute équation différentielle qui peut se mettre sous la forme :
P(x) et Q(x) sont deux fonctions réelles de la variable réelle x, définies et continues sur un même intervalle et n est une puissance entière naturelle arbitraire.
Remarque : on choisira n > 1 pour que l'étude ne se ramène pas à des cas cités auparavant.
Pour intégrer ces équations, on peut faire le changement de variable
|
du= |
1−n
yn
|
dy⇔ |
du
dx
|
= |
1−n
yn
|
|
dy
dx
|
⇔ |
dy
dx
|
= |
yn
1−n
|
|
du
dx
|
|
|
Substituons dans l'expression de départ :
|
|
yn
1−n
|
|
du
dx
|
+yP(x)+ynQ(x)=0 |
|
|
|
1
1−n
|
|
du
dx
|
+ |
1
y1−n
|
P(x)+Q(x)=0 |
|
L'équation devient alors :
On est ainsi ramené à une équation différentielle linéaire du 1er ordre par rapport à u.
2.6 Équation de Ricatti
On appelle équation différentielle de Riccati toute équation différentielle qui peut se mettre sous la forme :
|
y′ = A(x) y2 + B(x) y + C(x) |
|
A(x), B(x) et C(x) sont trois fonctions réelles de la variable réelle x, définies et continues sur un même intervalle
Connaissant une solution particulière de (E), y
P, on effectue le changement de variable :
Remarque: Il n'existe pas de méthode générale permettant de trouver une solution particulière de ce type d'équation différentielle. On se limitera à des cas simples.
|
|
dy
dx
|
= |
dyP
dx
|
+ |
du
dx
|
=(yP2+2yPu+u2)A(x)+(yP+u)B(x)+C(x) |
|
|
=yP2A(x)+yPB(x)+C(x)+(2yPu+u2)A(x)+uB(x) |
|
Mais comme y
P est solution de (E), il reste :
|
u′=(2yPA(x)+B(x))u+A(x)u2 |
|
Et on est ainsi ramené à une équation de Bernoulli.
On rencontre des équations de Riccati en physique quantique dans des problèmes portant sur l'équation de Schrödinger, dans l'équation de la propagation de la chaleur en régime sinusoïdal.
Dans ces cas-là, la fonction B est une fonction à valeurs complexes.
3 Equations différentielles du 2d ordre
3.1 Équations différentielles du 2d ordre se ramenant au 1er ordre
3.1.1 Équation différentielle de la forme f (x, y′, y") = 0
En posant z = y′ l'équation devient f (x, z, z′) = 0, ce qui est une équation du 1er ordre en z.
Il faut alors résoudre cette équation du 1er ordre pour en connaître l'intégrale générale en z :
Il reste alors à résoudre l'équation :
Ce qui réintroduira une deuxième constante. En effet, les solutions des équations du 2d ordre comportent toujours 2 constantes correspondant à deux étapes d'intégration.
Exemple :
On pose z = y′ et on a une équation différentielle linéaire du premier ordre en z :
|
(EH) : z − xz′ = 0, dz/z = dx/x ; zH = λx |
|
Sur (E), la variation de la constante donne λ′(x) = −1/x, soit λ(x) = −ln(x) et z
P = −xln(x)
La solution générale, pour z, est la somme des deux précédentes et la solution générale pour y est l'expression des primitives de cette somme :
|
y=λ |
x2
2
|
+ |
x2
2
|
( |
1
2
|
−lnx)+K= |
x2
2
|
(C−lnx)+K |
|
Note : Une étape non citée a été celle de la recherche d'une primitive de −xlnx, dont on peut supposer qu'elle contient x
2lnx.
Dérivons x
2lnx on obtient 2 x lnx + x; donc x
2lnx − x
2/2 a pour dérivée 2xlnx; donc (division par -2) x
2/4 − x
2lnx /2, c'est à dire le second terme de y ci-dessus, a pour dérivée −xlnx.
3.1.2 Équation différentielle de la forme f ( y, y′, y") = 0
On prend alors y comme nouvelle variable de base et on pose :
Pour la dérivée seconde on a :
|
y"= |
dp
dx
|
= |
dp
dy
|
|
dy
dx
|
=p′(y).y′=p′(y)p(y) |
|
Attention à la notation prime : p se dérive par rapport à y et y par rapport à x ! on préférera donc la notation différentielle.
Il vient alors f ( y, y′, y") = f ( y, p, pp′) = 0 soit une équation du premier ordre en p(y).
Il faut alors résoudre cette équation du 1er ordre pour en connaître l'intégrale générale en y :
p ( y,λ) , expression en y, contenant une constante λ
Il reste alors à résoudre l'équation :
|
|
dy
dx
|
=P(x,λ)⇔ dy=P(x,λ)dx⇒ y= | ⌠
⌡
|
P(y,λ)dx+μ |
|
Exemple :
Je pose p, fonction de la variable y, avec p(y) = y′ = dy/dx
Je rappelle qu'alors y" = dy′/dx = dp/dx = dp/dy . dy/dx = p′p et je peux réécrire l'équation (E) :
y − p′ = 0 qui se résout directement : p = y2/2 + λ
Puis : y′ = y
2/2 + λ
(EH) : y′ = y
2/2, séparation des variables :
|
dy/y2 = dx/2 ⇔ −1/y = x/2 + K ⇔ yH=− |
1
|
|
|
Sur (E), on a une solution particulière
évidente (on cherche une fonction constante par identification avec la constante λ) : y
P = √{−2λ}, dans les cas où λ est négatif (on pourrait discuter des autres cas...), cette racine étant un réel positif quelconque que l'on peut noter C.
Note : dans le cas général sur λ, on peut remarquer que l'équation y′ = y
2/2 + λ est une équation de Ricatti, dont il faudrait donc commencer par
deviner une solution particulière.
3.2 Équations différentielles linéaire du 2d ordre à coefficients constants
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants toute équation différentielle qui peut se mettre sous la forme :
a, b et c sont trois coefficients constants et g une fonction réelle de la variable réelle x, définie et continue sur un intervalle.
Théorème :
La forme générale des solutions de (E) est la somme :
- de la forme générale des solutions de (E.H.), yH
- et d'une solution particulière quelconque de (E), yP
3.2.1 Équation homogène
Cette équation est la suivante :
On rencontre cette forme en cinématique dynamique de type mouvement avec force de rappel (ressort), frottement de l'air, oscillations amorties, etc., ou encore dans les circuits électriques comportant une inductance et un condensateur.
Cherchons des solutions particulières de la forme e
rx :
En reportant cette forme dans (E.H.), on arrive vite à montrer que l'équation équivaut à
C'est le polynôme caractéristique de l'équation, que l'on commencera par résoudre.
- Si ∆ > 0, il possède deux racines réelles distinctes r1 et r2, donnant deux solutions particulières er1x et er2x, et on montre que toutes les solutions de (E.H.) sont engendrées par ces deux solutions particulières. Autrement dit :
où λ1 et λ2 sont des constantes réelles
- Si ∆ < 0, il possède deux racines complexes conjuguées α+ iβ et α− iβ, donnant deux solutions particulières complexes, on montre que toutes les solutions de (E.H.) sont engendrées par ces deux solutions particulières. Autrement dit :
|
y=λ1 e(α+ iβ)x+λ2 e(α− iβ)x |
|
où λ1 et λ2 sont des constantes complexes.
Or, nous cherchons à exprimer des fonctions à valeurs dans \mathbbR.
Reprenons les deux solutions particulières complexes :
|
y1=e(α+ iβ)x=eαx(cosβx+isinβx) et y2=e(α− iβ)x=eαx(cosβx−isinβx) |
|
On peut toujours construire deux autres fonctions à partir de celles-ci, réelles cette fois, indépendantes linérairement, et tout autant solution de (E.H.)
|
f1= |
y1+y2
2
|
=eαxcosβx et f2= |
y1−y2
2i
|
=eαxsinβx |
|
On montre alors que toutes les solutions réeles de (E.H.) sont engendrées par ces deux fonctions :
|
f1= |
y1+y2
2
|
=eαxcosβx et f2= |
y1−y2
2i
|
=eαxsinβx |
|
Ainsi, la forme générale des solutions à valeurs réelles est :
où λ1 et λ2 sont des constantes réelles
- Si ∆ = 0, le polynôme caractéristique n'admet qu'une racine r, réelle, et on montre que la forme générale des solutions de (E.H.) est :
où λ1 et λ2 sont des constantes réelles
3.2.2 Équation avec second membre ay" + by′+ cy = g(x)
Dans tous les cas à partir des solutions de l'équation sans second membre, on trouvera, par la méthode de la variation des constantes, une solution particulière et on pourra ainsi écrire l'intégrale générale de l'équation proposée.
Dans le cas où les racines du polynôme caractéristique sont réelles, le calcul se déroule de la manière suivante en remplaçant dans la solution de l'équation sans second membre les constantes par des fonctions de la variable :
- On pose :
- On calcule la dérivée première :
|
y′=r1λ1er1x+λ′1er1x+r2λ2er2x+λ′2er2x |
|
- On pose l'égalité suivante avant de calculer la dérivée seconde :
En effet, si tel n'est pas le cas dans l'expression de la dérivée seconde nous trouverions les dérivées secondes λ"1(x) et λ"2(x). Ensuite, nous nous trouverions face à deux nouvelles équations différentielles du second ordre en λ1(x) et λ2(x) qui donneraient deux fois deux constantes d'intégration, soient au total quatre constantes !
Alors que l'équation de départ du second ordre ne doit conduire dans sa solution générale qu'à deux constantes. Cette hypothèse précédente conduit à l'expression suivante pour la dérivée première de y :
- En prenant en compte l'équation précédente nous calculons la dérivée seconde :
|
y"=r12λ1er1x+r1λ′1er1x+r22λ2er2x+r2λ′2er2x |
|
- Ensuite il suffit de reporter les expressions de y, y′ et y" dans l'équation complète et vous constaterez que l'expression se simplifie comme suit :
|
ar1λ′1er1x+ar2λ′2er2x=g(x) |
|
- Ainsi nous obtenons un système de deux équations dont les deux inconnues sont λ′1 et λ′2:
|
{ ar1λ′1er1x+ar2λ′2er2x=g(x)λ′1er1x+λ′2er2x=0 |
|
- De ces deux équations nous déduisons les expressions de λ′1 et λ′2 qu'il suffit alors d'intégrer puis de reporter dans l'expression de la solution de l'équation sans second membre.
File translated from
TEX
by
TTHgold,
version 4.00.
On 04 Nov 2011, 14:19.
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